- •1 Формулы преобразования координат.
- •2 Алгебраические линии на плоскости.
- •3 Комплексная плоскость.
- •4 Преобразование многочлена второй степени при преобразовании координат.
- •5 Стандартная схема упрощения уравнения кривой второго порядка.
- •6 Полная классификация кривых второго порядка
- •7 Инварианты кривой второго порядка
- •8 Отыскание канонических уравнений по инвариантам.
- •9 Центр линии второго порядка.
- •10 Пересечение кривой второго порядка с прямой. Асимптотические направления относительно кривой второго порядка
- •11 Диаметры кривой второго порядка
- •12 Сопряженные диаметры кривой второго порядка.
- •13 Касательная к линии второго порядка.
- •14 Главные направления. Главные диаметры.
- •15 Определение расположения квп по отношению к исходной системе координат.
- •16 Уравнение квп в аффинной системе координат.
5 Стандартная схема упрощения уравнения кривой второго порядка.
Пусть относительно прямоугольной декартовой системы координат (ПДСК) дано общее уравнение кривой второго порядка (КВП) , где . Возникает естественный вопрос: Как по уравнению определить с какой кривой мы имеем дело? Для ответа на этот вопрос упростим уравнение , используя формулы преобразования декартовых систем координат, ориентированных одинаково. Любой такой перход можно осуществить в два этапа: поворот на некоторый оринтированный угол и последующий параллельный перенос повернутой системы. Рассмотрим каждый этап в отдельности. I) . Поворот. Возникают два случая. Если , то ничего делать не надо и мы перейдем ко второму этапу. Пусть теперь . Выполним поворот вокруг начала координат на угол , который подберем так, чтобы исчезло слагаемое, содержащее , т.е чтобы . Это условие эквивалентно тому, что [см. ] или . Отсюда получаем, что необходимо выполнять поворот на угол, удовлетворяющий условию Если мы выполняем поворот на угол, удовлетворяющий условию , то в системе координат данная кривая будет задаваться уравнением , причем и не равны нулю одновременно. II). Параллельный перенос. Перенесем систему координат в некоторую точку , относительно системы координат . В этом случае формулы параллельного переноса будут иметь вид Теперь подберем точку так, чтобы максимально упростить уравнение . Рассмотрим несколько случаев: 1. и . Подбираем точку , чтобы в преобразованном уравнении исчезли слагаемые с переменными в первых степенях. Отсюда получаем, что или , то есть и уравнение принимает вид или с целью упрощения записи 2. , и В этом случае уравнение принимает вид и мы подбираем точку , чтобы в преобразованном уравнении исчезли слагаемые с переменной в первой степени и свободный коэффициент. Это эквивалентно тому, что координаты точки являются решением следующей системы . После такого выбора точки уравнение кривой примет вид или 3. , и . Таким образом, имеем дело с уравнением вида и мы выбираем точку так, чтобы в преобразованном уравнении исчезли слагаемые с переменной в первой степени, то есть, чтобы , а — произвольное действительное число, например, . Получаем уравнение или проще ВЫВОД. Если в системе координат уравнение кривой имело вид , то с помощью поворота и параллельного переноса системы координат его можно привести к одному из трех видов . Замечание 5.1. Случаи , и и , и сводятся к 2. и 3. соответственно, рассмотренным выше с помощью дополнительного поворота на угол .
6 Полная классификация кривых второго порядка
Исследуем подробно каждое из полученных уравнений I). Возможны следующие случаи: 1. . Уравнение можно переписать в эквивалентной форме . a) Если и , то обозначая через и соответственно, получим уравнение , которое определяет эллипс. b) Если и , то обозначая через и соответственно, получим уравнение , которое определяет мнимый эллипс (этому уравнению не удовлетворяет ни одна вещественная точка плоскости). c) Если и или и , то обозначая через и или и соответственно, получим уравнение , которое пределяет гиперболу. 2. Тогда исходное уравнение принимает вид a) Числа и одного знака. Без ограничения общности можно считать, что они положительные (иначе обе части уравнения умножим на ). Тогда обозначив через и , получим в этих обозначениях уравнение , которое определяет две мнимые прямые, пересекающиеся в действительной точке . b) Числа и - числа разных знаков. Будем считать, что (иначе обе части уравнения умножим на ). Тогда обозначив через и , получим в этих обозначениях уравнение или , которое определяет две действительные пересекающиеся прямые. II). . Запишем его в эквивалентном виде . Обозначим . В этих обозначениях получим уравнение , которое определяет параболу. III). . Перепишем его в виде и рассмотрим возможные случаи : 1. . a) Тогда обозначим и получим, что уравнение кривой приводится к виду (или ), которое определяет пару различных параллельных прямых. b) . Тогда обозначим и получим, что уравнение имеет вид , которое определяет пару мнимых параллельных прямых. 2. . Тогда уравнение принимает вид , которое определяет пару совпавших прямых. ВЫВОД. Таким образом, имеется девять и только девять типов кривых второго порядка.