Интерпретация формальной теории
Интерпретацией формальной теории T в область интерпретации называется функция I, которая каждой формуле формальной теории однозначно сопоставляет некоторое содержательное высказывание относительно объектов множества. Это высказывание может быть истинным или ложным. Если высказывание является истинным, то говорят, что формула выполняется в данной интерпретации. Интерпретация I называется моделью множества формул, если все формулы этого множества выполняются в интерпретации I. Интерпретация I называется моделью формальной теории T , если все формулы этой теории выполняются в интерпретации I (то есть все выводимые формулы оказываются истинными в данной интерпретации).
Общезначимость и непротиворечивость
Формула называется общезначимой(или тавтологией), если она истинна в любой интерпретации. Формула называется противоречивой, если она ложна в любой интерпретации. Формула G называется логическим следствием множества формул, если G выполняется в любой модели. Формальная теория T называется семантически непротиворечивой, если ни одна ее теорема не является противоречием.
Таким образом, формальная теория пригодна для описания тех множеств, которые являются ее моделями.
Модель для формальной теории T существует тогда и только тогда, когда T семантически непротиворечива. Формальная теория T называется формально непротиворечивой, если в ней не являются выводимыми одновременно формулы FךF. Теория T формально непротиворечива тогда и только тогда, когда она семантически непротиворечива
7. Алгебра высказываний. Пропозициональные формулы.
2.1. Логические операции
2.1.1. Отрицание
Если А есть высказывание, то k (”не-А”) является отрицанием А. Для каждой логической операции можно построить так называемую истинностную таблицу (ИТ), в которой обозначены результаты операций при всех возможных значениях операндов. Для отрицания ИТ примет следующий вид:
А ך A
И Л
Л И
2.1.2. Коньюнкция
Также называется логическим умножением. Таблица истинности:
А В А & B
И И И
Л И Л
И Л Л
Л Л Л
2.1.3. Дизьюнкция
Также называется логическим сложением. Таблица истинности:
А В А V B
И И И
Л И И
И Л И
Л Л Л
2.1.4. Импликация
Импликация означает следование - ”если А, то В”. Это высказывание ложно только в том случае, когда А - истинно, а В - ложно. Разумеется, бывают случаи, когда смысл А и В неясен, а поэтому говорить об истинности результата очень трудно. Например: Если на Марсе ходят поезда, то марсианские поезда синего цвета Таблица истинности для импликации:
А В А → B
И И И
Л И И
И Л Л
Л Л И
2.1.5. Эквивалентность
Последняя операция называется эквивалентностью. Таблица истинности для нее выглядит так:
А В А ≡B
И И И
Л И Л
И Л Л
Л Л И
Запись А ≡ B читается так: ”А тогда и только тогда, когда В”. Когда мы говорим ”А тогда и только тогда, когда В”, то имеем в виду, что оба предложения А и В одновременно истинны, либо одновременно ложны.