6.2. Понятие устойчивости игры и равновесия по Нэшу
Рассмотрим игру на примере. Пусть:
1 игрок — предприятие “Заря”;
2 игрок — предприятие “Луч”.
Заря выпускает цветные и серебристые птички (ЦП, СП), а Луч — цветные и серебристые рыбки (ЦР, СР).
Цены на игрушки одинаковы, сбыт постоянен и равен 1000 шт. Заря выпускает игрушки, не зная, что выпускает Луч, а Луч знает, что выпускает Заря. Тогда у Зари могут быть только две стратегии (ЦП или СП), а у Луча — четыре. Например, в ответ на ЦП выпускать ЦР, и на СП — ЦР (первая стратегия), в ответ на ЦП выпускать ЦР, а на СП — СР (вторая стратегия) и т. д. Тогда матрица игры будет похожа на таблицу решений.
Стратегии Стратегии Луча
Зари 1 2 3 4
ЦП->ЦР ЦП->ЦР ЦП->СР ЦП->СР
СП->ЦР СП->СР СП->ЦР СП->СР
1 ЦП ЦП->ЦР ЦП->ЦР ЦП->СР ЦП->СР
40:60 40:60 90:10 90:10
2 СП СП->ЦР СП->СР СП->ЦР СП->СР
70:30 20:80 70:30 20:80
Так как при постоянном сбыте 1000 шт. количество игрушек, проданных Зарей, однозначно определяет количество игрушек, проданных Лучем, то, чтобы упростить матрицу игры, перепишем ее в другом виде:
Заря Луч
|
1 |
2 |
3 |
4 |
ЦП |
40 |
40 |
90 |
90 |
СП |
70 |
20 |
70 |
20 |
Цифры указывают выигрыш Зари и одновременно проигрыш Луча.
Нужно выбрать оптимальную стратегию игры и найти значение игры.
1. Выбор стратегии Зарей.
Пусть Заря хочет получить некоторый выигрыш (Луч в ответ на выигрыш Зари будет действовать наилучшим образом для себя, т.е. минимизировать выигрыш Зари). Если Заря будет выпускать ЦП, то Луч выберет стратегию 1 или 2, чтобы выигрыш Зари был минимальным — 40, а не 90. Если Заря будет выпускать СП, то ее гарантированный выигрыш — 20, так как Луч будет действовать 2 или 4 стратегией. Следовательно, Заря должна выпускать ЦП, так как в этом случае из двух минимальных выигрышей — 40 и 20 — она получит максимальный — 40. Таким образом стратегия Зари:
Математически такая стратегия называется стратегией максимина.
2. Выбор стратегии Лучом.
Выбор стратегии Лучом планируется так, чтобы его проигрыш был минимальным. Для этого он должен в каждом столбце подсчитать свой максимальный проигрыш (70, 40, 90, 90) и после этого выбрать тот столбец, в котором максимальный проигрыш был бы минимальным, т. е. 40 (вторая стратегия). Таким образом оптимальная стратегия Луча должна быть минимаксной:
В данном случае значения игры для Луча и Зари совпадают
максмин=минмакс=40
40 — это гарантированный выигрыш одного игрока и проигрыш другого. Такая ситуация называется равновесием по Нэшу (игровое равновесие). Стратегия по Нэшу является устойчивой стратегией в том смысле, что обоим игрокам невыгодно отклоняться от этой стратегии. Например, пусть Заря выпускает ЦП, имея гарантированный выигрыш 40, — в ответ Луч выпускает ЦР (вторая стратегия), имея наименьший гарантированный проигрыш 40. Если Заря вместо ЦП начнет выпускать СП, т. е. ее гарантированный выигрыш упадет до 20, а если Луч вместо второй стратегии выберет первую, то его проигрыш при соответствующей смене стратегии Зарей может возрасти до 70 (если Заря сменит ЦП на СП). Очевидно, Лучу невыгодно так же выбирать третью и четвертую стратегии, так как его проигрыш может возрасти с 40 до 90 (если Заря сменит СП на ЦП).