19. Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами

Ответ: Признак Даламбера: Если для ряда a₁+a₂+…+a_n+… с положительными членами существует предел L= , то при 0<L<1 ряд сходится, а при L>1 – расходится. Замечание: при L=1 признак ответа не дает.

Док-во: Пусть L<1. Тогда для ε= >0 существует n₀, такое что < ε= =

–L< ; < = q

Тогда q<1, т.к. L<1

Имеем:

В силу первого признака сравнения рядов из сходимости ряда a_n+a_nq+…+a_nq^k+… при 0<q<1 следует сходимость ряда a_n+a_n+1+…+a_n+k+…

Док-во закончено. Для случая L>1 док-во аналогично, но получается сравнением с суммой геом. прогрессии, где q>1

20. Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сходящегося ряда с положительными членами, к которому этот признак неприменим.

Ответ: Если существует p= , то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если p<1, a если p>1 – расходится.

Пример ряда:

21. Дайте определение гармонического ряда. Докажите, что гармонический ряд расходится.

Ответ: Ряд 1+1/2+1/3+…+1/n+…

называется гармоническим. Для этого ряда не выполняется условие сходимости.

Т: Гармонический ряд расходится

Док-во: Допустим, что ряд сходится и его сумма равна S. Тогда,

(S_2n-S_n)=S-S=0

C другой стороны,

(S_2n-S_n)= + +…+ > (при n>1) > +…+ (n раз) = n* =1/2

Предел в этом случае если и существует, то он ≥ ½. Имеет место противоречие => теорема доказана.

22. Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов. Приведите пример знакочередующегося ряда, сходящегося условно.

Ответ: Если абсолютные величины a_n членов ряда

(-1)^n-1a_n,a­_n>0, монотонно убывая, стремятся к нулю, т.е. A_n+1<a_n и lim (n ) a_n=0, то исходный ряд сходится. При этом любой остаток r_k= ряда не превосходит по модулю первого из своих членов, т.е. |r_k|≤a_k+1

Пример:

23. Сформулируйте теорему Абеля для степенных рядов. Может ли ряд , расходящийся в точке x= -2, сходиться при x=3?

Ответ: Если степенной ряд a₀+a₁*x+a₂*x²+…+a_n*xⁿ+… (1) сходится при некотором x=x₀, не равном нулю, то он абсолютно сходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|<|x₀|. Если ряд расходится при некотором x=x₁, то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x₁|

Нет, такой ряд не может сходиться, т.к. если при x=3 он сходится, то он должен сходиться при всех х (-3;3)

24. Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Используя эту теорему, найдите сумму ряда при |x|<1

Ответ: Пусть функция f(x) на интервале (-R,R) разлагается в степенной ряд f(x)=a₀+a₁*x+a₂*x²+…+a_nxⁿ+… (1). Рассмотрим степенной ряд

a₁+2a₂*x+…+na_n*x^n-1 (1'), полученный почленным дифференцированием этого ряда. Тогда:

1) Ряд (1') имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд (1)

2) на всем интервале (-R,R) функция f(x) имеет производную f'(x), которая разлагается в степенной ряд (1')

25. Сформулируйте достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена. Докажите, что функция f(x)=sinx разлагается в ряд Маклорена на любом интервале (-a,a).

Ответ: Пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема на интервале (-r,r). Если существует такая константа M, что во всех точках указанного интервала выполняются неравенства |f⁽ⁿ⁾(x)|<M (n=0,1,2,…), то в этом интервале ряд Маклорена сходится к функции f(x).

26. Докажите, что функция f(x)=e^x разлагается в ряд Маклорена на всей числовой оси.

Ответ: