Интерполяционный полином:
Под интерполяции функции полиномами подразумевается, что некоторую функцию f(x) требуется заменить обобщенным полиномом F(x) заданного порядка так, чтобы отклонение заданной функции f(x) от обобщенного полинома F(x) на некотором интервале было минимальным.
Для каждой функции f (x), определенной на [a, b], и любого набора узлов x0, x1 ,...., xn( xi ϵ[a, b], xi≠xj при i ≠j ) среди алгебраических многочленов степени не выше nсуществует единственный интерполяционный многочлен Ф(x), который может быть записан в форме:
=∑f(xi)Qi(x),
(1)
где Qi(x)-многочлен n-ой степени, обладающий следующим свойством:
Qi(x)={1,0 при x=xi, x=xj для (i, j)=0, 1, 2, .. n, i≠j
Для интерполяционного полинома многочлен Qi(x) имеет вид:
Многочлен (1) решает задачу интерполирования и называется интерполяционным полиномом.
В MathCad для линейной интерполяции используется функция linterp(x,y,z), где x – имя вектора координат экспериментальных данных по оси абсцисс, y – имя вектора по оси ординат, z – переменная, от которой будет зависеть интерполирующая функция. Проведем интерполяцию исходных данных и построим график интерполирующей функции.
Под интерполяцией полиномами подразумевается, что некоторую заданную функцию f(x) требуется заменить обобщенным полиномом заданного порядка так, чтобы отклонение заданной функции от обобщенного полинома на указанном множестве было минимальным.
На практике эмпирически полученные данные, как правило, имеют некоторую погрешность. Основной задачей регрессивного анализа является установление параметров закона описывающего эти данные с учетом погрешностей. В MathCad определить коэффициенты полинома можно определить с помощью функции regress(x,y,n), где x и y – векторы экспериментальных данных, а n – порядок полинома. Для задания полинома будем использовать функцию interp(s,x,y,t). Будем изменять n и строить график интерполирующей функции до тех пор, пока не подберем n так, чтобы график наилучшим образом проходил через экспериментальные точки.
Метод сплайн интерполяции заключается в том, что вместо полинома высокой степени, проведенного через все заданные точки, строится непрерывная кривая из фрагментов полиномов низких порядков. При интерполяции кубическими сплайнами в качестве интерполирующего полинома используется кубическая парабола. В MathCad для интерполяции с помощью кубических сплайнов применяется функция interp(s,x,y,t), вектор s найдем с помощью функции cspline(x,y).
Определим площади под кривыми интерполирующих функций, используя определенные интегралы:
Найдем первые производные от интерполирующих функций:
и построим их графики.
Вывод:
Программный продукт MathCad хорошо помогает в сложных математических расчетах и уменьшает время решения. Его интерфейс подобен WORDу, что во многом упрощает работу в нем.