2) , То ряд сходится
Рассмотрим при n
Следовательно, убывает.
Значит ряд сходится по признаку Лейбница.
Ответ: сходится.
Задача 8.
Вычислить сумму ряда с точностью
Обозначим n-ный член ряда, как
Чтобы вычислить сумму ряда с заданной точностью, следует принять во внимание то, что члены ряда с ростом n монотонно убывают. Тогда нам требуется найти сумму ряда до N-го члена таково, что для любых n выполняется неравенство Найдем N:
Найдем сумму ряда до 6-го члена:
Ответ:
Задача 9.
Найти область сходимость ряда:
Обозначим , а искомую область сходимости ряда –X
Пусть тогда получим, что при n , следовательно, ряд расходится на данном множестве . (Необходимым условием сходимости ряда является стремление к нулю при стремлении n к бесконечности.
При , тогда сделаем замену переменных:
x= , тогда Подставим t вместо x в ряд:
Получаем, что для любого фиксированного x=
и поэтому ряд сходится.
Так как мы провели все возможные x на принадлежность области сходимости, то, в итоге, X=
Ответ: область сходимости
Задача 10.
Найти область сходимости ряда:
Приведем этот ряд к степенному виду:
, где не зависит от x и является постоянной величиной.
Положим , , тогда исходный ряд можно переписать в виде:
Используем формулу для нахождения радиуса сходимости, основанную на применении признака Коши:
R=
Таким образом, интервал сходимости ряда будет выглядеть следующим образом:
-1 +3
Ответ: Область сходимости ряда X=
Задача 11.
Найти область сходимости ряда:
Найдем этот ряд к степенному, т.е. к виду: , где не зависит от x и является постоянной величиной.
Положим тогда исходный ряд можно переписать в виде:
Теперь нам требуется найти:
Воспользуемся следующим равенством:
где a и b постоянные числа, a
Тогда.
Таким образом, по теореме Коши-Адамара, область сходимости X=
Решим неравенство, чтобы в явном виде записать область сходимости:
Решим уравнение
D=36-13 =-16
Т.к. дискриминант меньше нуля, то:
Ответ: область сходимости X=
Задача 12.
Найти область сходимости ряда:
Проведем тождественные преобразования ряда:
Теперь преобразуем ряд в эквивалентный:
Для ряда
Подставим преобразованные ряды в исходный ряд:
Обозначим А(x)=
Рассмотрим производную
(Сумма убывающей геометрической прогрессии.)
Ряд будет сходиться при
А(x)=
Чтобы найти константу С, найдем значение ряда в некоторой фиксированной точке x, возьмем x=0, тогда А(x)=0=С,
Таким образом, сумма ряда A(x)= есть –x-ln(1-x) при , и не существует при всех остальных x.
Получаем:
Ответ:
Задача 13.
Найдите сумму ряда:
Разложим этот ряд на сумму двух более простых рядов:
Найдем А(x)= Заметим, что А(x) есть производная от функции B(x)= , умноженная на x:
(x)=
A(x)=x
Сумма ряда B(x) есть сумма убывающей геометрической прогрессии и поэтому равна B(x)= , при условии, что Тогда производная от B(x) такова:
(x)=
Тогда A(x)=x =x при и не существует при
Ответ:
Задача 14.
Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням X:
Чтобы решить эту задачу, следует воспользоваться табличными разложениями и степенные ряды. Приведем функцию к виду, удобному для разложения:
Воспользуемся табличным разложение для
Ряд полученный нами, еще не является рядом Тейлора по степеням x. Следует воспользоваться табличными разложениями еще раз, Для это преобразуем функцию следующим образом:
Воспользуемся табличным разложением для
Положим m=k+n. Т.к. k, n то 0 0 Из определения k следует, что Теперь найдем все возможные комбинации k и чтобы m=k+n, где m- произвольное фиксированное число, m Т.к. , то т.е.
Найдем коэффициент перед n раскладывается на сумму n и k несколькими способами, то где суммирование ведется по всем допустимым парам(n,k). Выразим индексы n и k через m: n=m-k
Итого:
Тогда:
f(x)=
Ответ: