Знакоположительные числовые ряды

Числовой ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным.

Теорема (Критерий сходимости знакоположительного ряда).

Для сходимости знакоположительного ряда необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху одним и тем же числом.

Эта теорема в большей степени имеет теоретическое, чем практическое значение. Ниже мы приведем другие признаки сходимости, имеющие большее практическое применение.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Теорема (Первый признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных ряда:

(1)

и

(2)

причем, начиная с некоторого номера , для любого выполняется неравенство Тогда:

1. из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

2. из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Схематическая запись первого признака сравнения:

сход.сход.

расх.расх.

Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:

1. - геометрический (он сходится при и расходится при );

2. – гармонический (он расходится);

3) - ряд Дирихле (он сходится при и расходится при ).

Кроме этого часто используют ряды, которые можно получить с помощью следующих очевидных неравенств:

, , ,

Рассмотрим на конкретном примере схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.

Пример 6. Исследовать ряд на сходимость.

Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда: для

Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда: . Так как , то .

(Если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить.)

Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Для этого подберем для данного ряда ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять ряд , т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так как показатель степени . Следовательно, согласно первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.

Пример 7. Исследовать ряд на сходимость.

1) Данный ряд знакоположительный, так как для

2) Необходимый признак сходимости ряда выполняется, так как

3) Подберем ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять геометрический ряд . Этот ряд сходится, следовательно, сходится и исследуемый ряд.

Теорема (Второй признак сравнения)

Если для знакоположительных рядов и существует отличный от нуля конечный предел , то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Замечание. Если при (необходимый признак сходимости), то из условия , следует, что и – бесконечно малые одного порядка малости (эквивалентные при ). Следовательно, если дан ряд , где при , то для этого ряда можно брать ряд-эталон , где общий член имеет тот же порядок малости, что и общий член данного ряда.

При выборе ряда-эталона можно пользоваться следующей таблицей эквивалентных бесконечно малых при :

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) .

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд .

Данный ряд знакоположительный, так как для любого .

Так как , то возьмем в качестве ряда-эталона гармонический расходящийся ряд . Поскольку предел отношения общих членов и конечен и отличен от нуля (он равен 1), то на основании второго признака сравнения данный ряд расходится.

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд по двум признакам сравнения.

Данный ряд знакоположительный, так как , и . Поскольку , то в качестве ряда-эталона можно брать гармонический ряд . Этот ряд расходится и следовательно, по первому признаку сравнения, исследуемый ряд также расходится.

Так как для данного ряда и ряда-эталона выполняется условие (здесь использован 1-й замечательный предел), то на основании второго признака сравнения ряд – расходится.

Теорема (Признак Даламбера)

Если для знакоположительного ряда существует конечный предел , то ряд сходится при и расходится при .

Замечания:

1. Если , признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда и поэтому необходимо использовать другие признаки сходимости.

2. Признак Даламбера дает оценку и остатка ряда. Из неравенства

,

следует, что остаток ряда

.

3. Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера.

Данный ряд знакоположительный и .

(Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя.)

Так как

то по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 11. Исследовать на сходимость ряд .

Данный ряд знакоположительный и . Поскольку

,

то данный ряд сходится.

Теорема (Признак Коши)

Если для знакоположительного ряда существует конечный предел , то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Замечания:

1. Если , признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда и поэтому необходимо использовать другие признаки сходимости.

2. Если , то ряд расходится.

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд .

Данный ряд знакоположительный, так как для любого . Поскольку вычисление предела вызывает определенные трудности, то проверку выполнимости необходимого признака сходимости ряда опускаем.

Так как

,

то по признаку Коши данный ряд расходится.

Теорема (Интегральный признак сходимости Маклорена — Коши)

Пусть дан ряд

члены которого положительны и не возрастают:

Пусть, далее — функция, которая определена для всех вещественных , непрерывна, не возрастает и

, , …, , …

Тогда для сходимости ряда (7) необходимо и достаточно, чтобы сходился (существовал) несобственный интеграл

.

Пример 13. Исследовать на сходимость ряд

Решение

Члены ряда суть значения функции при Так как для эта функция непрерывна, положительна и убывает, то вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости интеграла По определению несобственного интеграла

несобственный интеграл сходится, а, следовательно, сходится и исходный числовой ряд.