- •Числовые ряды Числовой ряд. Общий член ряда
- •Сходящиеся и расходящиеся ряды
- •Основные свойства сходящихся рядов
- •Признаки сходимости числовых рядов
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Если , то ряд расходится.
- •Знакоположительные числовые ряды
- •Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды
- •Знакопеременные ряды
- •Функциональные ряды Функциональный ряд и его область сходимости
- •Степенные ряды
- •Геометрическая интерпретация теоремы Абеля
- •Разложение элементарных функций в степенные ряды
- •Приближенные вычисления с помощью степенных рядов
- •Приближенное вычисление корней
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Приближенное решение дифференциальных уравнений
- •Теоретические вопросы
- •Расчетные задания
Числовые ряды Числовой ряд. Общий член ряда
Определение. Пусть дана бесконечная последовательность чисел , , ,..., то выражение вида
(1)
называется числовым рядом, числа , , ,...– членами (элементами) ряда, – общим членом ряда, если не зафиксировано.
Пример1. Дан ряд , где общий член . Найти . Заменяя в общем члене на , получим .
Сходящиеся и расходящиеся ряды
Сумма первых n членов ряда (1) называется ой частичной суммой и обозначается через . Следовательно, суммы
– 1-ая частичная сумма;
– 2-ая частичная сумма;
– 3-ая частичная сумма;
– ……………………….
– ая частичная сумма;
... – ……………………….
образуют последовательность частичных сумм , , ..., , ...
Определение Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм, то есть . При этом число называется суммой ряда. Если для данного ряда последовательность частичных сумм не имеет конечного предела при , то этот ряд называется расходящимся.
Пример2. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии (геометрический ряд)
, .
Из элементарной математики известно, что сумма n членов геометрической прогрессии . Отсюда следует, что если , то геометрический ряд сходится и его сумма . Если же , то геометрический ряд расходится.
Пример3. Исследовать на сходимость ряд .Так как , то ая частичная сумма данного ряда
Эта сумма при имеет предел .
Итак, данный ряд сходится и его сумма равна единице.
Основные свойства сходящихся рядов
Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный отбрасыванием из него любого конечного числа членов.
Пусть даны ряды , и . Если оба ряда и сходятся, а их суммы соответственно равны и , то сходится и ряд , причем его сумма равна .
Если ряд сходится и имеет сумму , то сходится и ряд , причем его сумма равна числу , где .
Если ряд сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, не изменяющей порядок расположения членов ряда, и суммы этих рядов одинаковы. К примеру, если сходится и его сумма равна , то ряд
также сходится, и его сумма равна .
Признаки сходимости числовых рядов
На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда.
Необходимый признак сходимости ряда
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при , т.е. .
Кратко: если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.
Отсюда вытекает достаточный признак расходимости ряда.
Если , то ряд расходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
Для этого ряда общий член и .
Следовательно, данный ряд расходится.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд
Очевидно, что общий член этого ряда, вид которого не указан ввиду громоздкости выражения, стремится к нулю при , т.е. необходимый признак сходимости ряда выполняется, однако этот ряд расходится, так как его сумма стремится к бесконечности.