1.Опред. Ф-ции неск. Перем. Предел и непрер. Ф-ции.
Пусть задано мн-во D упорядоченных пар ч-л(x;y). Соответствие f, которое каждой паре ч-ел(x;y) ϵ D сопоставляет од-но и только од-но ч-ло z ϵ R, наз. ф-цией двух переменных, опред. на множ. D со знач. в R, и запис. в виде z=f(x;y). При этом x и y назыв. независимыми переменными(аргументами), а z – зависимой переменной(ф-цией).
Примером ф-ции двух перемен. может служить пл.S прямоугольн. со сторонами, длины которых = x и y: S=xy. Обл. определ. этой ф-ции явл. мн-во {(x;y) | x>0,y>0}.
В частности, обл. определения может быть вся плоскость или ее часть, ограничен. некоторыми линиями. Линию, ограничивающую обл. наз. границей обл. Точки обл., не лежащие на границе, наз. внутренними. Обл., состоящая из одних внутренних точек, наз. открытой. Обл. с присоединенной к ней границей наз. замкнутой, обознач. D. Примером замкнутой обл. явл. круг с окружностью.
Значен.
ф-ции z=f(x;y)
в т.Mо(
)
обазн. 
=f(
)
или
=Mo
и наз. частным
значением ф-ции.
Пусть
ф-ция z=f(x;y)
определена в некоторой окрестности т.
Мо(
),
кроме, быть может самой этой точки .
Число А наз. пределом
ф-ции z=f(x;y)
при x→
и
y→
,
если для любого ε>0 существ. δ >0 такое,
что для всех x
и y
и удовлетворяющих неравенству
<
δ выполняется неравенство |f(x;y)-A|<ε.
Записывают A=
.
Из определ. следует, то что если предел
сущ., то он не зависит от пути, по которому
М → 
.
Ф-ция
z=f(x;y)
(или f(M))
наз. непрерывной
в точке Мо(
;
),если
она:
а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,
б)
имеет предел 
,
в)
этот предел равен знач. ф-ции z
в т. Мо,т.е. 
или 
Ф-ция, непрерывная в каждой т. некоторой обл. наз. непрерывной в этой обл. Точки, в которых непрерывность нарушается ,наз. точками разрыва этой ф-ции.
2.Частные произв. И частные дифференциалы ф-ции двух переменных.
Пусть
задана ф-ция z=f(x;y). Так как х и у –
независимые перемен. то одна из них
может изм-ся, а другая сохранять свое
знач. Дадим независимой переменной х
приращение x, сохраняя знач. у неизменным.
Тогда z получит приращение, которое наз.
частным
приращением z по
х
и обозн. 
z.
Итак,
z=f(x+
x;y)
- f(x;y).
Аналогично
получаем частное приращение z
и у: 
z=f(x;y+δy)
– f(x;y).
Полное приращение
z
ф-ция z
определяется равенством
z=f(x+
x;y+
y)
– f(x;y).
Если сущ. передел 
=
, то он наз. частной
производной
ф-ции z=f(x;y)
в т. М(х;у) по переменной х и обознач.
одним из симвалов: 
, 
,
.
Частные
производные по х в т. Мо(
;
)
обычно обазнач. символами 
(
;
),
|
.
Частные
производные 
и 
назыв. частными
производными первого порядка. Эти
ф-ции могут иметь частные производные
, котор. назыв. частными
производными второго порядка.
Они опред. и обознач. :
(
)
= 
=
=
(x;y);
(
)=
=
=
(x;y);
(
)=
=
=
(x;y);
(
)
= 
=
(x;y).
Частная
производная
второго или более высокого порядка,
взятая по различным переменным , назыв.
смешанной
частной производной,
например:
,
,
.
3. Производные сложных и неявно заданных ф-ций. Примеры.
Если
z
= f(x;y)
— дифференцируемая в т. М(х;у)ϵD
ф-ция и х=х(t)
и y=y(t)
— дифференцируемые ф-ции независимой
переменной t,
то производная сложной ф-ции z(t)=f(x(t);
y(t))
вычисляется по ф-ле 
=
+ 
(1)
Частный
случай: z=f(x;y),
где y=y(x)
т.е. z=f(x;y(x))
– сложная ф-ция одной независимой
переменной х. Этот случай сводиться к
предыдущему, причем роль переменной t
играет х. Согласно ф-ле (1) имеем:
+
или 
=
+
(2) . Ф-ла
(2) носит название ф-лы полной производной.
Найти
и 
,
если z
=ln(
+
),
x=u
v,
y=
.
Решение:
Найдем
=
.Упростим правую часть полученного
равенства: 
=
(x·v+
) =
(uv·v+
)=
=
,т.е. 
. Ф-ция
z=f(x;y)
назыв. неявной,
если
она задается ур-ем F(x;y;z)=0,
неразрешенным относительно z.
Частные производные по x
и y
ф-ции, тождественно равной 0, также равны
0: 
F(x;y;f(x;y))
= 
+
· 
=0
(y-считаем
постоянным), 
F(x;y(x;y))
=
+
считаем
постоянным ), откуда
=
и
=
, (
Имеет место теорема
существования неявной ф-ции
двух переменных: если ф-ция F(x;y;z)
и ее производные 
(x;y;z),
(x;y;z),
(x;y;z)
определены и непрерывны в некоторой
окрестности т. Мо(
),
причем F(
то сущ. окресность т.
,
в которой ур-ние F(x;y;z)=0 определ.
единственную ф-цию z=f(x;y),
непрерывную и дифференцируемую в
окрестности т. (
и такую, что f(
)=
.
,
(
).
Найти
частные
производные ф-ции z,
заданной ур-нием
Решение:
Здесь
F(х;y;z)=
По
ф-лам
=
и
=
, (
имеем:
=+
, 
=