Тема 6. Применение теории массового обслуживания в экономике.

1. Основные понятия и примеры задач массового обслуживания.

СМО – структуры, содержащие одно или несколько обслуживающих устройств(каналов), на вход которых в случайные моменты времени поступают требования для обслуживания.Примеры:

- обслуживание покупателей в сфере розничной торговли

- транспортное обслуживание

- медицинское обслуживание

- ремонт

- обработка документов

- туристическое обслуживание

Элементы: входящий поток заявок,

 очередь,

 поток необслуженных (покинувших очередь) заявок,

 каналы обслуживания,

 выходящий поток обслуженных заявок.

Существуют одно- и многоканальные системы, замкнутые(разомкнутые), с отказами(с ожиданием).

2. Граф состояний, размеченный граф состояний СМО.

Размеченным графом состояний системы(в которой протекает случайный процесс) называется схема, в которой состояния системы обозначаются квадратами (кругами), внутри которых помещаются обозначения состояния, а стрелками указаны возможные непосредственные переходы из состояния в состояние, при этом у каждой стрелки указывается плотность вероятности перехода.

Переходы из состояния S_k в состояние S_k+1 происходят под воздействием входящего потока заявок с интенсивностью λ. Переход из состояния S_k в состояние S_k-1 происходит под воздействием суммарного потока обслуживаний k каналами; интенсивность суммарного потока равна сумме интенсивностей слагаемых потоков.

...

...

n

Рис. 6.2.4. Граф состояний многоканальной СМО без ограничений на длину очереди.

...



3

2

S₁

S₀

S₂

S_n+1

S_n

...

S_n+1

n

n

n

n

Рис. 6.2.4. Граф состояний многоканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди.



3

k

(k+1)

n

2

S₁

S₀

S₂

S_n

S_k

Рис. 6.2.3. Граф состояний многоканальной СМО без очереди.

3. Потоки событий. Простейший поток и его свойства

Поток событий- последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей).Поток называетсяпростейшим(марковским илипуассоновским) потоком событий, если он характеризуется свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последействия.

- стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени( интенсивность такого потока есть среднее число событий в единицу времени и остается величиной постоянной)

- ординарным, если вероятность попадания на очень малый отрезок времени сразу двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания только одного события.

- без последействия, если число событий, попадающих на один из произвольно выбранных промежутков времени, не зависит от числа событий, попавших на другой, также произвольно выбранный промежуток при условии, что эти промежутки не пересекаются между собой

Поток характеризуется интенсивностью, т.е. частотой появления события или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени. Будем обозначать интенсивность входящего потока требований (заявок), а интенсивность обслуживания требований одним каналом при непрерывной его работе -.

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, то есть вероятность поступления за время tровноkтребований задается формулой:

.

4. Многоканальная СМО с ограниченной очередью и ее характеристики.

Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди. Пусть вn-канальную систему массового обслуживания поступает простейший поток требований с интенсивностью; число мест в очереди ограничено и равноm. Время обслуживания требований (для одного канала) экспоненциальное, со средним значениемt_обс.

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1.	Вероятности состояний
2.	Вероятность отказа
3.	Относительная пропускная способность (доля обслуженных заявок)	q = 1- Роткn.
4.	Абсолютная пропускная способность (среднее число обслуживаемых заявок за единицу времени)
5.	Среднее число занятых каналов
6.	Коэффициент занятости каналов
7.	Средняя длина очереди
8.	Среднее время пребывания в очереди
9.	Среднее число требования, находящихся в системе
10.	Среднее время пребывания требования в системе

Многоканальная СМО с неограниченной очередью и ее характеристики.

Многоканальная СМО с ожиданием. Так как длина очереди не ограничена, установившийся режим работы системы существует при условии < 1, а в случае1 система не справляется с обслуживанием и очередь будет расти неограниченно. Отношениеназывается уровнем загрузки системы. Полагаем, что< 1.

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1.	Вероятности состояний
2.	Вероятность отказа,	Ротк=0
3.	Относительная пропускная способность (доля обслуженных заявок)	q=I
4.	Абсолютная пропускная способность (среднее число обслуживаемых заявок за единицу времени)	A=q=..
5.	Среднее число занятых каналов
6.	Коэффициент занятости каналов
7.	Средняя длина очереди
8.	Среднее время пребывания в очереди
9.	Среднее число требования, находящихся в системе
10.	Среднее время пребывания требования в системе

Многоканальная СМО с отказами и ее характеристики.

Пусть в n-канальную систему массового обслуживания поступает простейший поток требований с интенсивностью. Время обслуживания требований (для одного канала) экспоненциальное, со средним значениемt_обс.

Если требование поступает в систему в момент, когда все nканалов заняты, то оно получает отказ (покидает систему не обслуженным). Если же в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный канал, то оно принимается к обслуживанию и обслуживается до конца.

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1.	Вероятности состояний
2.	Вероятность отказа
3.	Относительная пропускная способность (доля обслуженных заявок)	q = 1- Ротк.
4.	Абсолютная пропускная способность (среднее число обслуживаемых заявок за единицу времени)	А = q.
5.	Среднее число занятых каналов
6.	Коэффициент занятости каналов