- •11.2. Свойства определённого интеграла.
- •11.3. Вычисление определённого интеграла.
- •§43. Функции двух переменных
- •1.2.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения.
- •1.2.2. Дифференциальное уравнение первого порядка.
- •1.2.3. Задача Коши.
- •1.2.4. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка.
- •1.2.5. Общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка.
- •1.2.6. Поле направлений.
- •§ 1.3. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
- •1.3.1. Уравнение, записанное через дифференциалы.
- •1.3.2. Уравнения с разделенными переменными.
- •1.3.3. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •1.3.4. Однородные уравнения.
- •1.3.5. Линейное уравнение.
- •27.1. Основные понятия
- •27.2. Геометрическое изображение комплексных чисел
- •27.3. Формы записи комплексных чисел
- •28.1. Сложение комплексных чисел
- •28.2 Вычитание комплексных чисел
- •28.3 Умножение комплексных чисел
- •28.4. Деление комплексных чисел
- •28.5. Извлечение корней из комплексных чисел
- •3.1.3. Полярная система координат.
1.3.2. Уравнения с разделенными переменными.
Уравнение (1) называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными, если
Оно имеет вид
. (4)
Далее будем считать, что и - непрерывные функции. Пусть есть решение дифференциального уравнения (4) в прямоугольнике
,
определенное на некотором интервале .
Тогда имеет место тождество
,
откуда, интегрируя, получим
.
Здесь интегралы и суть некоторые выбранные нами первообразные от и :
во втором равенстве произведена замена переменной в неопределенном интеграле (см. вашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 5.2); константа зависит от решения .
Итак, любое решение нашего дифференциального уравнения в указанном прямоугольнике удовлетворяет уравнению
при некоторой постоянной или уравнению
. (5)
Левая часть равенства (5) есть функция , непрерывно дифференцируемая на прямоугольнике
,
со свойствами
.
Если продифференцировать формально (5) по , считая, что , то получим
,
т. е. исходное дифференциальное уравнение (4).
Таким образом, равенство (5) есть общий интеграл дифференциального уравнения (4) для его решений вид . Согласно теореме 1 §1.2 все непрерывно дифференцируемые на решения уравнения (5) при любых постоянных являются решениями дифференциального уравнения (4) вида и обратно. Впрочем, обратное утверждение мы доказали непосредственно.
Рассуждая аналогично, меняя местами роль и , мы снова получим равенство (5), но только теперь это будет общий интеграл, содержащий всевозможные решения вида , нашего дифференциального уравнения (4).
Таким образом, равенство (5) будет общим интегралом дифференциального уравнения (4) как для решений вида , так и для решений вида .
Пример 1. .
- общий интеграл.
Пример 2. .
Эти интегралы нельзя выразить в элементарных функциях. Все же мы считаем задачу, с точки зрения теории дифференциальных уравнений, решенной.
1.3.3. Уравнения с разделяющимися переменными.
Если , то уравнение (1) называется уравнением с разделяющимися переменными:
(6)
Для тех для которых , разделим на это произведение левую и правую части (6). Тогда получим уравнение с разделенными переменными
.
Общий интеграл этого уравнения находится, как в 1.3.2. Но могут быть еще решения, проходящие через точки удовлетворяющие уравнению .
1.3.4. Однородные уравнения.
Функция называется однородной степени , если для любых и полняется равенство
.
Если функции и однородные одной и той же степени , то дифференциальное уравнение
(7)
называется однородным.
Его можно преобразовать следующим образом
,
т.е.
, (8)
где - некоторая функция от одного переменного.
Введем вместо новую функцию (от ) при помощи подстановки
.
Тогда
или
Следовательно,
или
где - произвольная постоянная.
Отметим более общее уравнение, чем (8):
. (9)
Его можно решить подстановкой
;
тогда
(10)
где - произвольная постоянная.
Пример 3. .
Данное уравнение является однородным, так как функции
однородные степени . Сделаем замену . Тогда уравнение перепишется так:
или
.
Разделяя переменные, полдучаем
.
Так как у нас , то
.
Пример 4.
, (11)
.
Это уравнение есть частный случай (9), если
. (12)
Уравнение (11) при и (условие (12) выполнено) имеет вид
,
и его решение записывается по формуле (10), где
.
Полученное уравнение есть частный случай уравнения Риккати
,
которое интегрируется в квадратурах только в исключительных случаях. Мы доказали, что при уравнение Риккати решается в квадратурах. Отметим, что при уравнение Риккати является уравнением с разделяющимися переменными.
Если и ( - целое), то подстановка
приводит уравнение Риккати к виду
Последовательно применяя эту подстановку, можно исходное уравнение свести к случаю .
Если же , то подстановка
приводит уравнение к виду
Применяя эту подстановку необходимое число раз, мы сведем уравнение Риккати к случаю .
Во всех других случаях уравнение Риккати не решается в квадратурах.
Пример 5. .
Имеем
.
Это уравнение есть частный случай уравнения (9) при .