Лекция 17.

Интерполирование

§ 17.1. Интерполяционные формулы Ньютона.

Пусть функция у = f(x) задана на сетке равноотстоящих узлов x_i=x₀+ih, где i = 0,1, ..., п, и для нее построена таблица конечных разностей § 16.3.

В соответствии с тем, что было сказано о направлении модификации интерполяционной формулы Лагранжа в начале предыдущего параграфа, будем строить интерполяционный многочлен Р_п(х) в форме

Р_n(х) = а₀+а₁(хх₀) + а₂(хх₀)(хх₁)+... + а_n(хх₀)( хх₁) … (хх_n1). (17.1)

Его п+1 коэффициент а₀, а₁, ..., а_n будем находить последовательно из п+1 интерполяционных равенств

Р_n(х_i) =y_i, i = 0,1, ..., п.

А именно, полагая i = 0, т.е. х = х₀, в (1.23) имеем Р_n(х₀) = а₀, следовательно, а₀= у₀.

Далее, при i = 1 аналогично получаем равенство

а₀+а₁(х х₀)=y₁,

в которое подставляем уже найденное значение а₀= у₀. Разрешая это равенство относительно а₁ и используя обозначение конечной разности, получаем

Полной индукцией можно показать справедливость выражения

Подставляя найденные коэффициенты а₀, а₁, ..., а_n в (17.1), получаем многочлен

(17.2)

который называют первым интерполяционным многочленом Ньютона.

Учитывая, что каждое слагаемое многочлена (17.2), начиная со второго, содержит множитель х х₀, естественно предположить, что этот многочлен наиболее приспособлен для интерполирования в окрестности узла х₀. Будем называть узел х₀ базовым для многочлена (17.2) и упростим (17.2) введением новой переменной q райенством или (что то же) равенством x = x₀ +qh. Так как

x  x_i = x₀ + qh  x₀ ih= h (q i),

то в результате подстановки этих разностей в (17.2) приходим к первой интерполяционной формуле Ньютона в виде

(17.3)

где обозначение Р_n(x₀ + qh) указывает не только на n-ю степень многочлена, но и на базовый узел x₀ и связь переменных х и q.

Первая формула Ньютона (17.3) обычно применяется при значениях |q| < 1, а именно, для интерполирования вперед (при х  (х₀, x₁), т.е. при q  (0, 1)) и экстраполирования назад (при х < х₀ т.е. при q < 0).

Так как реально степени интерполяционных многочленов бывают не так велики, в то время как таблицы значений функций достаточно обширны, и так как в реальной числовой таблице никаких индексов — номеров узлов нет, то за базовый для формулы (17.3) узел х₀ можно принимать узел, ближайший к заданной фиксированной точке х, если за ним имеется достаточное число узлов для построения необходимых разностей. Поскольку в первой формуле Ньютона используются нисходящие диагонали таблицы конечных разностей, то такое смещение узла, принимаемого за базовый, в конце таблицы будет неприемлемо.

Учет этого обстоятельства приводит к потребности в симметричной, в определенном смысле, для (17.3) формулы, которая была бы пригодной для интерполирования в конце таблицы. Для этого, в отличие от (17.1), форма интерполяционного многочлена Р_n(х) берется такой, которая предусматривает поочередное подключение узлов в обратном порядке: сначала последний, потом предпоследний и т.д., т.е.

Р(х) = а₀+а₁(хх_n) + а₂(хх_n)(хх_n1)+... + а_n(хх_n)( хх_n1)…(хх₁).

Коэффициенты а₀, а₁, ..., а_n этого многочлена находятся аналогично тому, как они находились для многочлена (17.1), только здесь подстановка узловых точек вместо х и рассмотрение интерполяционных равенств производится тоже в обратном порядке.

Таким образом, получаем второй интерполяционный многочлен Ньютона

(17.4)

в котором базовым является узел х_n и коэффициенты которого определяются конечными разностями, расположенными на восходящей от у_n диагонали.

Положим в (17.4) x = x_n+qh, иначе, введем новую перемен и преобразуем к ней входящие в (17.4) разности:

x  x_i = x_n + qh  x₀ ih= x₀+ nh + qh  x₀ ih= h (q+n i)

В результате приходим ко второй интерполяционной формуле Ньютона вида

(17.5)

Ее также целесообразно использовать при значениях |q| < 1, т.е. в окрестности узла х_п для интерполирования назад (при q  (1, 0)) и экстраполирования вперед (при q > О).

Наряду с выведенными специально для начала и конца таблицы первой и второй интерполяционными формулами Ньютона имеется еще несколько формул, рассчитанных на их применение в центральной части таблицы и потому называемых центральными интерполяционными формулами. Прежде, чем определять эти формулы, введем понятие центральных разностей.

Будем считать, что узел x₀ расположен в середине таблицы, и нумерация остальных узлов производится, начинаясь с х₀, с использованием как положительных, так и отрицательных индексов, т.е. считаем x_i=x₀+ih, где i = 0, ±1, ±2,... . Тогда центральная часть таблицы конечных разностей будет проиндексирована так, как это показано в табл. 1.7. Все подчеркнутые в ней конечные разности (находящиеся с XQ,y_Q в одной строке и на полстроки выше и ниже) называются центральными разностями.

x_3 y _{3 y3}

x_2 y_{3 y2} ²y_{3 }³_y3

x_1 y_{1 y1} ²y_{2 }³_y2 ⁴y_{3 }⁵_y3

x₀ y_{0 y0} ²y_{1 }³_y1 ⁴y_{2 }⁵_y2 ⁶y_3

x₁ y_{1 y1} ²y_{0 }³_y0 ⁴y_1

x₂ y_{2 y2} ²y₁

x₃ y₃

Интерполяционный многочлен ищем в форме

Р(х) = а₀+а₁(хх₀) + а₂(хх₀)(хх₁)+ а₃( хх_1) (хх₀)(хх₁)+

+а₄( хх_1) (хх₀)(хх₁)( хх₂)+… .

Коэффициенты ищем, как и прежде. Введя новую переменную и выразив через нее разности x  x_i = h (q i) для всех i= 0, ±1, ±2, ..., в результате подстановки этих разностей и выражений коэффициентов после преобразований приводит к формуле

называемой интерполяционной формулой Стирлинга.

Рассмотрим вопрос о том, как могут быть трансформированы остаточный член и его оценки при конечноразностной интерполяции.

Известно, что все построенные здесь конечноразностные интерполяционные многочлены Ньютона и Стирлинга  это всего лишь различные формы представления интерполяционного многочлена Лагранжа. Следовательно, для всех этих форм справедливо выражение остаточного члена (16.7).

Для первого интерполяционного многочлена Ньютона в форме (17.3) погрешность может быть записана следующим образом

Для второго интерполяционного многочлена Ньютона в форме (17.5) погрешность может быть записана следующим образом