- •10) Геометрические приложения определённого интеграла: площади плоских фигур, длина кривых. Вычисление объёма тел, в том числе тел вращения.
- •11) Числовые ряды. Критерий Коши сходимости числового ряда. Следствие: необходимое условие сходимости ряда.
- •19. (Формула Коши-Адамара),
- •2 5. Определение двойного интеграла и его основные свойства.
- •Сведение двойного интеграла к повторному.
- •26. Тройной интеграл, сведение его к повторному.
- •27, Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.
- •28. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры: случаи цилиндрических и сферических координат.
- •29. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде. Элемент площади поверхности.
- •30. О пределение криволинейного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
- •Определение криволинейного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.
- •31. Формула Грина. Условия того, что криволинейный интеграл на плоскости не зависит от пути интегрирования.
- •32. О пределение поверхностного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
- •33. Теорема Гаусса-Остроградского, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •34. Теорема Стокса, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •35. Скалярное поле. Градиент скалярного поля и его свойства. Вычисление градиента в декартовых координатах.
- •Поток векторного поля через поверхность. Определение дивергенции векторного поля и её свойства. Вычисление дивергенции в декартовых координатах.
- •Соленоидальные векторные поля, условия соленоидальности.
- •Циркуляция векторного поля и ротор векторного поля. Вычисление ротора в декартовых координатах.
- •36. Оператор Гамильтона (набла), дифференциальные операции второго порядка, связь между ними.
- •37. Основные понятия, относящиеся к оду первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральные кривые. Задача Коши, её геометрический смысл.
- •38. Интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
- •39. Интегрирование линейных оду первого порядка и уравнений Бернулли.
- •40. Интегрирование оду первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
19. (Формула Коши-Адамара),
Радиусом сходимости ряда наз такое число R, что для всех х, |х|<R, степенной ряд абсолютно сходится, я для всех х, |х|>R – расходится. Интервал ]-R;R[ наз интервалом схобимости.
ассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости. Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно. Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле
или на основе признака Даламбера:
20) Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Достаточное условие Разложимости функций в ряд Тейлора.
опр.: Пусть . Тогда ряд наз-ся рядом Тейлора ф-ии в точке . Если , то по ф-ле Тейлора: , где - остаточный член ф-лы Тейлора, т.е. , где - n-ая частичная сумма ряда Тейлора ф-ии в точке . ряд Тейлора сходится на тогда и только тогда, когда . теор.: Пусть и , тогда на док-во: , где - остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа . Рассм. ряд , по признаку Даламбера ряд сх-ся . Перейдем к пределеу при в неравенстве на .
20) Основные разложения элементарных функций в ряд Тейлора
2 5. Определение двойного интеграла и его основные свойства.
О пределение двойного интеграла. Пусть на плоскости XY задана функция и область (P) (область задания функции f(x,y)), её площадь P. Произведём разбиение площади сеткой кривых Pi, где Pi – частичная область. Внутри частичной области возьмём произвольную точку с координатами (ξi,ηi). Составим интегральную сумму: . Пусть λ – характеристика разбиения, которая равна , где di – диаметр частичной области. Диаметр – максимальное расстояние между любой парой точек в области. Устремим λ к нулю. Если существует предел интегральных сумм , то этот предел и называется двойным интегралом: .
Основные свойства двойного интеграла:
Свойство аддитивности:
Свойства линейности:
а)
б)
Модуль интеграла меньше или равен интегралу от модуля:
Теорема о среднем. Так как , то, проинтегрировав это неравенство, получим:
, где .
Сведение двойного интеграла к повторному.
Т еорема. Если функция f(x, y) интегрируема в прямоугольнике, указанном на рисунке, и если и существует интеграл , тогда существует повторный интеграл и он равен двойному: = .
З амечание. Если f(x, y) интегрируема в прямоугольнике, указанном на рисунке, и и существует интеграл тогда существует повторный интеграл .
Предположим, что область D произвольного вида. Делаем разбиение и проводим параллельные линии. Заключим область (D) в прямоугольник (D*), , и в нём определим функцию f*(x,y): .
Формула в общем виде: . Так же доказывается, что .
26. Тройной интеграл, сведение его к повторному.
О пределение тройного интеграла. Пусть в некоторой области (V) с границей (S) задана в каждой точке функция f(x,y,z). Разобьём тело (V) сеткой поверхностей на частичные области (Vi). В каждой (Vi) возьмём произвольную точку (ξi, ηi, ζi) и составим интегральную сумму: . Устремим максимальный диаметр (макс. расстояние между любой парой точек в области) к нулю: . Тогда, если существует предел интегральных сумм, то он равен тройному интегралу: .
На всякий случай определение интегральной суммы. Пусть на нек-ом отрезке задана . Произведём разбиение отрезка: . Число , называется интегральной суммой функции f(x), соответствующей данному разбиению T(ξi;xi) сегмента [a;b] и данному выбору промежуточных точек ξi на частичных сегментах [xi-1;xi], Δ –хар-тика разбиения:
С ведение к повторному интегралу. Рассмотрим первый простейший случай. Пусть тело V – прямоугольный параллелепипед. Проведём секущую плоскость. Возьмём приращение плоскости (жирные линии). Тогда: .
Р ассмотрим второй случай.
Рассмотрим третий случай – область (V) цилиндрического типа.