11) Числовые ряды. Критерий Коши сходимости числового ряда. Следствие: необходимое условие сходимости ряда.

Выражение (1)

где (u_k)_kÎN — заданная числовая последовательность, называется числовым рядом. Конечные суммы S₁ = u₁, S₂ = u₁ + u₂, .... S_n = u₁ + u₂ +...+ u_n, называются частичными суммами ряда (1).

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм (2)

то ряд (1) называется сходящимся, а число S—суммой ряда (1)

Необходимое условие сходимости. Если ряд (1) сходится, то

Доказательство.

Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство =S, так как при n и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = = un=0, что и требовалось доказать.

Критерий Коши. Для того чтобы числовой ряд (1) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 су­ществовало N = N(ε) такое, что для всех n > N и р = 1, 2, … выполнялось неравенство

Доказательство:

Частный случай:

При : , следовательно, (необходимое условие сходимости ряда).

26) Ряды с неотрицательными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости. Признак сравнения.

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Необходимое условие

Так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно она ограничена. А значит она ограничена и снизу и сверху. Доказано

Достаточное условие

Дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Покажем, что наша последовательность(из членов ряда) неубывающая: S(n + 1) − S(n) = a(n + 1) Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности и получим, что последовательность частичных сумм ограничена сверху.

Признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами

и

и каждый член ряда (17) не превосходит соответствующего члена ряда (18), т.е. выполняется (n = 1, 2, 3, …). Тогда, если сходится ряд (18), то сходится и ряд (17). Если ряд (17) расходится, то ряд (18) также расходится. Этот признак остается в силе, если условие выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого номера n = N.

12) Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.

Признак Даламбера

Пусть дан знакоположительный числовой ряд

(7)

и пусть существует предел При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расходится.

Доказательство. По условию существует предел . Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех номеров n³N выполняется условие или

p-E< (10)

Пусть сначала p<1. Выберем Е так, что p+E=q<1. Для всех n³N имеем … или

или

(11)

Рассмотрим ряды

(12)

. (13)

Ряд (13) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Тогда ряд (12) сходится, учитывая (11), по признаку сравнения. Ряд (7) сходится по теореме 1.

Пусть теперь p>1. Выберем Е так, что p-E>1. Тогда из левой части неравенства (10) следует, что при n³N выполняется или un+1>un, то есть члены ряда возрастают с возрастанием номера n. Поэтому un¹0, следовательно, ряд расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

 

Замечания.

1. Если расходимость ряда установлена с помощью признака Даламбера, то un¹0.

2. При р=1 признак Даламбера не даёт ответа о сходимости ряда. В этом случае нужно применять другие признаки сходимости.

3. Признак Даламбера рекомендуется применять при наличии в выражении общего члена ряда показательной функции или факториала.

Признак Коши

Пусть дан знакоположительный числовой ряд u1+u2+…+un… (7)

и пусть существует предел При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расходится.

Доказательство. По условию существует Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех n³N выполняется условие | | <E или

p-E< <p+E. (14)

Пусть p<1. Выберем Е таким, чтобы выполнялось p+E=q<1. Тогда из (14) получаем <q или un<qn для всех n³N. Рассмотрим ряды

(15)

(16)

Ряд (16) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ряд (15) сходится, учитывая, что un<qn для всех n³N, по признаку сравнения, следовательно, по теореме 1 сходится ряд (7).

Пусть теперь p>1. Выберем Е так, чтобы выполнялось условие p-E >1. Тогда из (14) получаем >1 или un>1, следовательно, un¹0 и ряд (7) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

13.

 Интегральный признак (Коши, Маклорен).

Пусть данный ряд имеет вид a_n = f (n), причем f (n) есть значение в точке x = n некоторой функции f (x), определенной при x ≥ n₀. Если f (x) монотонно убывает и в области определения справедливо неравенство f (x) ≥ 0, то ряд a_n сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл f (x) dx.

Пример 1

Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.

Используем интегральный признак Коши. Вычислим соответствующий несобственный интеграл:

     

Таким образом, данный ряд расходится.

14) Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.

Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Числовой ряд вида u1-u2+u3-u4+…+ +(-1)n-1.un+…, где un – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.

Если сходится и сам знакопеременный ряд и ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то говорят, что знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда, расходится, то говорят, что знакопеременный ряд сходится условно.

 

Признак Лейбница

Если для знакочередующегося числового ряда

(19)

Выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю u1>u2>…>un>…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S2n=(u1-u2)+(u3-u4)+…+(u2n-1-u2n).

По условию u1>u2>…>u2n-1>u2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S2n возрастает с возрастанием n и S2n>0 при любом n.

С другой стороны S2n=u1-[(u2-u3)+(u4-u5)+…+(u2n-2-u2n-1)+u2n]. Выражение в квадратных скобках положительно и S2n>0, поэтому S2n<u1 для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S2n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный S2n=S. При этом 0<S≤u1.

Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S2n+1=S2n+u2n+1. Перейдём в последнем равенстве к пределу при n→∞: S2n+1= S2n+ u2n+1=S+0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому Sn=S, то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

 

Замечания.

1. Теорема Лейбница справедлива и если условие un>un+1 выполняется, начиная с некоторого номера N.

2. Условие un>un+1 не является необходимым. Ряд может сходиться, если оно не выполняется.

13) Интегральный признак Коши сходимости числового ряда с неотрицательными членами.

Пусть члены знакоположительного числового ряда u1+u2+…+un… (7) не возрастают: u1³u2≥…≥un≥… и пусть f(x) такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1;∞) функция, что f(1)=u1, f(2)= u2 ,…, f(n)= =un,… . Тогда ряд (7) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

Доказательство. Построим график функции y=f(x) на отрезке [1;n] и построим прямоугольник с основаниями [1;2], [2;3], …, [n-1;n] и высотами u1,u2,…,un-1, а также с высотами u2,u3,…,un.

Sn=u1+u2+…+un-1+un, Sвпис=u2.1+u3.1+…+un.1=u2+u3+…+un=Sn-u1,

Sопис=u1+u2+…+ +un-1=Sn-un.

Площадь криволинейной трапеции S= . Получаем Sn-u1< < Sn-un. Отсюда

Sn<u1+ (17)

и Sn>un+ (18)

Пусть сходится. Это означает, что существует конечный предел =Y. Соотношение (17) принимает вид: Sn<u1+Y при любом n. Это означает, что последовательность частичных сумм Sn ряда (7) ограничена и, следовательно, ряд (7) сходится. Пусть расходится. Это означает, что =∞ и тогда из (18) следует, что последовательность частичных сумм Sn ряда (7) неограничена и, следовательно, ряд (7) расходится. Теорема доказана.

15) Функциональные ряды. Их основные свойства, связанные с понятием равномерной сходимости (б/д).

Рассмотрим последовательность функций, определенную на множестве Х:

Пусть т. числовая последовательность.

Равномерная сходимость функциональных рядов.

Для функциональных рядов рассматривается еще один вид сходимости − равномерная сходимость.

Определение. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в некоторой области Х, если для любого сколь угодно малого числа > 0 можно указать такое целое число N( ) > 0, зависящее только от e и не зависящее от х, что при всех n > N( ) неравенство выполняется для всех х из области Х.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

1. Сумма S(x) равномерно сходящегося ряда в области Х, где un(x) (n = 1, 2, 3, …) - непрерывные функции, является непрерывной функцией в области Х.

2. Равномерно сходящийся ряд , где un(x) (n = 1, 2, 3, …) -непрерывные функции, можно почленно интегрировать, т.е. справедливо равенство

. (26)

3. Если  ряд 

  ,

составленный из функций, имеющих непрерывные производные , сходится в области C и его сумма равна S(x), а ряд из производных сходится в этой области равномерно, то производная суммы ряда равна сумме ряда из производных:

. (27)

Коротко эту теорему формулируют так:

Если ряд, составленный из производных сходящегося ряда (27), сходится равномерно, то исходный ряд (24) можно почленно дифференцировать.

31) Критерий равномерной сходимости функционального ряда.

Определение. Пусть функции и определены на множестве Х. Говорят, что функциональная последовательность равномерно сходится к функции на множестве Х, если для любого существует число , не зависящее от х, такое, что для всякого натурального и любого выполняется неравенство .

Можно также определить равномерную сходимость не в терминах сходимости последовательности частичных сумм, а в терминах остатков ряда.

Определение. Сходящийся в области функциональный ряд (12) называется равномерно сходящимся в этой области, если для существует не зависящее от число такое, что для остатка ряда

справедливо неравенство для всех .

15) Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

Критерий Коши.) Для того, чтобы функциональный ряд сходился равномерно в области X , необходимо и достаточно , чтобы для любого и существовало , не зависящее от , такое, что для всех и неравенство

выполняется сразу для всех

На практике для установления равномерной сходимости рядов часто используется простой и эффективный Признак Вейерштрасса.

Ряд равномерно сходится на     

Доказательство:

 Пусть ряд равномерно сходится.

, где   — сумма ряда. Тогда

По определению равномерной сходимости,  .

В силу предыдущего неравенства,  , то есть, выполняется условие критерия Коши.

 Пусть выполняется условие критерия Коши.

 для   выполняется критерий Коши сходиммости числовых рядов. Значит, этот ряд сходится. На всем   определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.

По условию критерия Коши, 

Как и в первой половине доказательства,  , но  . В неравенстве с     можно подставлять любой фиксированный  . Устремим  : 

Значит, определение равномерной сходимости проверено.

16) Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда

(Признак Вейерштрасса) Если числовой ряд с неотрицательными членами сходится и для членов функционального ряда при всех и всех справедливы оценки

,

то ряд сходится абсолютно и равномерно в области

Говорят в этом случае, что числовой ряд «мажорирует» исходный функциональный ряд, а сам числовой ряд называют мажорантным.

Существует простой признак для проверки равномерной сходимости(принак Вейерштрасса)

Можно рассматривать   и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.

Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.

Теорема (Вейерштрасс):

,  ,

   — сходится. Тогда   равномерно сходится на  .

Доказательство:

Применим критерий Коши:

   

Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно  ,

. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.

18) Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

Важным случаем функциональных рядов являются степенные ряды:

(13)

или

Для выяснения свойств степенных рядов достаточно ограничиться рассмотрением рядов вида (13), так как ряд по степеням легко свести к виду (13) заменой переменных , т.е. переносом начала координат в точку

Для выяснения характера области сходимости степенного ряда сформулируем следующую теорему:

Теорема 6.1. (Абеля) Пусть степенной ряд (13) сходится в точке Тогда он сходится абсолютно в любой точке х, для которой и равномерно в любой области .

Если степенной ряд (13) расходится в точке то он расходится и во всех точках таких, что .

Для определения области сходимости степенного ряда используется либо признак Даламбера, либо признак Коши.

Рассмотрим степенной ряд

. (14)

Вычислим предел

.(15)

Если существует предел (15), то ряд (14) сходится, если , и расходится, если . Следовательно, ряд (14) сходится абсолютно, если

,

и расходится, если

.

Определение. Число , такое, что для всех x, удовлетворяющих условию ряд (13) сходится, а для всех х удовлетворяющих условию ряд расходится, называется радиусом сходимости ряда.

Формула для радиуса сходимости, получаемая с помощью признака Даламбера, имеет вид

(16)

Область сходимости ряда - так называют множество точек сходимости функционального ряда, т.е. множество значений аргумента х, для которых ряд (бесконечная сумма) сходится

Пример 6.1. Найти область сходимости ряда Область сходимости ряда

при .

По признаку Даламбера:

что означает, что ряд сходится на всей оси Х.