1.Компоненты перемещений и деформаций в элементарном объеме
При обработке давлением металл получает остаточные значительные деформации. Если тело деформируется, то каждая точка смещается из своего первоначального положения, однако тело находится в равновесии и не имеет возможности перемещаться на 1 целое. Перемещение точки при пластической деформации происходит исключительно в следствии деформации.
Если координатная точка в начальный момент соответственно равно x,y,z, а после деформации x',y',z', то параметры
Проекции перемещений на характерные оси – компоненты перемещений точки. Компоненты перемещений точек тела и их производные являются непрерывной функции координат.
В общем случае
элементарный прямоугольный параллелепипед
после деформации изменит не только свое
положение, но и форму. Длина ребер
изменяется, а углы перестанут быть
прямыми. В приделах малых деформаций
будут иметь место наличие 2 видов
деформаций: линейные относительные
величина которых равна
и угловых или сдвиговых
В процессе деформации при проектировании на соответствующие оси
В процессе деформации
происходит поворот соответственных
ребер ab в направлении оси y на <
а ребра ac на <
в направлении оси x причем суммарная
сдвиговая деформация
Выразим компоненты
деформации через компоненты перемещений
точек элементарного параллелепипеда.
Для этого выделим в окрестностях точки
M деформированного тела с малыми ребрами
а его вершина совпадает с т A
abcd – проекция элементарного параллелепипеда на плоскость xy до деформации.
т. a совпадает с т. М После деформации данного параметра т. abcd полочим перемещение
в результате имеем (см рис)
В результате
деформации перемещения т. a в направлении
оси x это
,
а в направлении оси y -
Точка b находится
на бесконечно малом расстоянии
от т.а в направлении оси х. перемещение
т.
будет отличаться от перемещения т.а на
бесконечно малое приращение
Аналогично перемещение т.с в направлении оси у будет отличаться от перемещения т.а в направлении оси у на бесконечно малую величину
Аналогично можно
получить
Перемещение точки
будет
отличаться от перемещения точки
на
бесконечно малую величину:
Аналогично
определяется перемещение точки
С
читается,
что тангенсы угла поворота
и
для малых деформаций равны соответствующим
углам. Их треугольника
при малости угла
Для малых деформаций
величина
является малой величиной < 1, т.о.
Аналогично из
треугольника
можно
получить
;
Результирующая сдвиговая деформация определяется как сумма послкдних
Поступая аналогичным образом можно определить все выражения характеризующие линейные и сдвиговые деформации:
;
;
;
;
;
Данные уравнения носят названия уравнения Каши
Величина пластических
сдвигов
является
суммой углов поворота ребер элементарного
параллелепипеда в направлении
соответствующей оси. Результат изменения
формы безразличен в отношении угла
альфа, лишь бы их сумма оставалась
постоянной и равной
.
Это дает возможность представлять
данные сдвиговых деформаций равными
между собой и воспользоваться записью
тензора напряжений, т.о. деформируемое
состояние характеризуется некоторым
тензором
:
По аналогии с напряженным состоянием тензор деформации может быть разложен на 2 составляющие:
,
где
- шаровой тензор деформаций;
- девиатор деформаций;
Из условия постоянства
объема:
