21. Теоремы Роля и Лагранжа, геометрический смысл.

2.1. Теорема Ролля.

Теорема 3 (теорема Ролля). Если функция f(x) непрерывна на сегменте а≤x≤b и имеет производную во всех внутренних точках этого сегмента и если, кроме того, f(a)= f(b), то внутри этого сегмента найдется точка ξ, производная f’(ξ) в которой равна нулю.

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если крайние ординаты кривой y = f(x) найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси Ох (рис. 11.2) (учебник стр 260)

2.2 Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на сегменте a≤x≤b и имеет производную во всех внутренних точках этого сегмента, то внутри этого сегмента найдется точка ξ такая, что справедливо равенство

f(b) – f(a) = f’(ξ)(b – a), (11.2)

называемое формулой Лагранжа.

Для выяснения геометрического смысла теоремы Лагранжа заметим, что величина f(b) – f(a)

b - a

является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки A(a, f(a)) и B(b, f(b)) кривой

y = f(x), а f’(ξ) является угловым коэффициентом касательной к кривой y = f(x), проходящей через точку C(ξ, f (ξ)). Формула Лагранжа (11.2) означает, что между точками A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна секущей AB (рис 11.3 на стр. 261)

22. Постоянство функции, имеющей на интервале равную нулю производную. Условие монотонности функции на интервале. Теорема Коши.

Теорема 5. Если функция f(x) дифференцируется на интервале (a,b) и если всюду на этом интервале f’(x) = 0, то функция f(x) является постоянной на интервале (a, b).

Теорема 6. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a, b) функция f(x) не убывала (соответственно не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (соответственно неположительной) всюду на этом интервале.

Теорема 7. Для того чтобы функция f(x) возрастала (соответственно убывала) на интервале (a, b), достаточно, чтобы производная f’(x) была положительной (соответственно отрицательной) всюду на этом интервале. Замечание. Положительность (соответственно отрицательность) производной f’(x) на интервале (a, b) н е я в л я е т с я н е о б х о д и м ы м у с л о в и е м возрастания (соответственно убывания) функции f(x) на интервале (a, b). Так, функция y =x3 возрастает на интервале (-1, 1), но производная этой функции f’(x) = 3x² не является всюду положительной на этом интервале (она обращается в нуль в точке x = 0).

Теорема 8 (теорема Коши).

Если каждая из двух функций f(x) и g(x) непрерывна на сегменте [a, b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента, и если, кроме того, производная g’(x) отлична от нуля всюду внутри сегмента [a, b], то внутри этого сегмента найдется точка ξ такая, что справедлива формула

f(b) – f(a) = f(ξ (11.7)

g(b) – g(a) g’(ξ)

называемая ф о р м у л о й К о ш и.

З а м е ч а н и е 1. Формула Лагранжа (11.2) является частным случаем формулы Коши (11.7) при g(x) = x.

З а м е ч а н и е 2. В формуле (11.7) не обязательно считать, что b>a.