38. Необходимой условие сходимости числового ряда. Признаки сравнения рядов с неотр. Членами.

необходимое условие сходимости числового ряда: если ряд (1) сходится, то его n -ый член стремится к нулю при n → ∞; lim n→∞ a_n = 0. Достаточное условие расходимости числового ряда: если n -ный член ряда не стремится к нулю при n → ∞, то ряд расходится. Для того чтобы ряд (1) с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена. признак сравнения). Пусть даны два ряда (1) и (3) с неотриц. членами и для всех n выполняется неравенство a_n’’b_n. Тогда из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (3). Предельный признак сравнения: если существует конечный, отличный от нуля предел n→∞ a_n/b_n, то ряды с положительными членами (1) и (3) сходятся и расходятся одновременно. 39. Признаки сходимости числовых рядов с неотриц. членами (признак Д’Аламбера, радикальный и интегральный признаки Коши).

признак Дaламбера: если для членов знакоположительного ряда ∑a_n существует конечный предел n→∞ =ℓ,то при: 1) 0 ≤ l <1 ряд сходится; 2) l =1 необходимы дополнительные исследования; 3) l >1 ряд расходится. Признак Коши(радикальный): если для членов знакоположительного ряда ∑a_n существует конечный предел n→∞ ℓ,то при: 1) 0 ≤ l <1 ряд сходится; 2) l =1 необходимы дополнительные исследования; 3) l >1 ряд расходится. Интегральный признак: пусть члены знакоположительного ряда ∑a_n не возрастают, а функция f (x) , определенная для x ≥1, является непрерывной и невозрастающей, причем f(1)=а₁, f (2) = a₂, …, f (n) = a_n, … Тогда для сходимости ряда ∑a_n необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл (от 1 до ∞)∫f(x)dx. 40. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

a₁ + a₂ +…+a_n…=∑a_n(1) – называется знакопеременным, если его членами являются действительные числа произвольного знака. Если сходится ряд |a₁| + |a₂ |+…+|a_n|…=∑|a_n| (2), то ряд (1) называется абсолютно сходящимся. Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно сходящимся. Если знакопеременный ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

Это знакочередующийся рад(3). Признак Лейбница: если для знакочередующегося ряда (3) выполнены условия: 1) a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an ≥ an+1 ≥ ...; 2) предел a_n→0, то данный ряд сходится, а его сумма не превышает первого члена ряда. 41. Степенной ряд, его определение. Сходимость степенных рядов. Теорема Абеля. Св-ва степенных рядов.

Степенным рядом называют ряд вида c₀ +c₁x+c₂ x²+…+c_n xⁿ…= (n=0 до ∞)∑c_n xⁿ, где c0, c1, c2,... – действительные числа, называемые коэффициентами ряда. Совокупность значений x∈ℝ, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд ∑|c_n xⁿ|. Теорема Абеля: eсли степенной ряд сходится при x = x0, то он сходится абсолютно при всех x, удовлетворяющих условию

|x|< |x₀|. Если ряд расходится при x = x1, то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x |> |x1|. Св-ва: Если функция f (x) на интервале (−R, R) является суммой ряда f(x)=c₀ +c₁x+c₂ x²+…+c_n xⁿ…, то она дифференцируема на этом интервале и ее про-изводная f ′(x) находится почленным дифференцированием ряда , т.е. f’(x)=c₁ +2c₁x+c₂ x+…+nc_n x^n-1… при этом радиус сходимости полученного ряда равен R. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке, целиком принадлежащем интервалу сходимости, при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

42. Нах-ие радиуса и интервала сх-ти степенных рядов.

Радиусом сходимости степенного ряда c₀ +c₁x+c₂ x²+…+c_n xⁿ…= (n=0 до ∞)∑c_n xⁿ называется неотрицательное число R, такое, что при x < R ряд сходится, а при x > R – расходится. Интервалом сходимости называется интервал

(−R,R). Для выражения радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты можно использовать признак Д'Аламбера или признак Коши. Если существует конечный предел то радиус сходимости ряда равен Если существует конечный предел то радиус сходимости ряда равен

Формулами этими выражается и радиус сходимости ряда, интервалом сходимости этого ряда является интервал (x0 − R, x0 + R).

43. Ряды Тейлора и Маклорена.

f(x₀) + f’(x₀)(x-x₀) + (x-x₀)² +…+ (x-x₀)ⁿ+…=(от 0 до ∞)∑ (x-x₀)ⁿ, называется рядом Тейлора функции f (x) в точке x0. Если x0 = 0, то ряд f(0) + x + x² +…+ xⁿ…=∑ xⁿ, называется рядом Маклорена. Ряд Тейлора, составленный для функции f (x) , как всякий степенной ряд, будет иметь интервал сходимости и сумму, причем сумма может быть и не равной f (x) .