15. Таблица неопределенных интегралов. Метод замены переменной в неопределенном интеграле

1. ∫ 0 ⋅ dx = C. 2. ∫ 1⋅ dx = x + C.

Пусть функция x = ϕ(t) определена и дифф-ема на некотором множестве X * и пусть X – множество значений

этой функции, на котором определена функция f (x). Тогда, если на множестве X функция f (x) имеет первообразную, то на множестве X * справедлива формула:

Выделим два частных случая замены переменной:

1. Так как dx = d(x + a) , где a = const, то ∫ f (x)dx = ∫ f (x) d(x + a).

2. Так как dх=1/к*d(kx), то ∫ f (x) dx= 1/к ∫ f (x) d(kx).

16. Метод интегрирования по частям. Некоторые типичные интегралы, берущиеся по частям.

Пусть каждая из функций u(x) и v(x) дифф-ема на множестве X, и, кроме того, на этом множестве существует

первообразная для функции v(x)u′(x), тогда для функции u(x)v′(x) на X акже существует первообразная, причем

17. Простейшие рациональные дроби. Метод неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов

1. Используя произвольные постоянные, представить правильную рац. дробь P (x)/Q (x) в виде суммы простейших рац. дробей. 2. Привести сумму дробей к одному знаменателю. 3. Приравнять числители. 4. Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x. 5. Решить полученную систему из n уравнений, линейную относительно произвольных постоянных. 6. Используя полученное решение системы, записать разложение исходной дроби на сумму простейших рациональных дробей. 18. Интегрирование простейших рациональных дробей и рациональных функций.

1. Используя произвольные постоянные, представить правильную рац. дробь P (x)/Q (x) в виде суммы простейших рац. дробей. 2. Привести сумму дробей к одному знаменателю. 3. Приравнять числители. 4. Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x. 5. Решить полученную систему из n уравнений, линейную относительно произвольных постоянных. 6. Используя полученное решение системы, записать разложение исходной дроби на сумму простейших рациональных дробей.

Первообразная рациональной функции:

19. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Рац. ф-ция R(x,y) 2 переменных х и у – ф-ция R(x,y) = .

Замена t=tgx/2 является универсальной подстановкой для неопределенных интегралов такого вида;х/2=arctgt; x=2arctgt; dx=2/(1+t²)*dt;sinx= 2t/(1+t²); cosx=(1-t²)/(1+t²)

20. Инт-ие простейших иррациональностей. М-д Эйлера.

случай, когда интегралы от иррац. функций с помощью подстановок, приводятся к интегралам от рац. функций.

Такой интеграл приводится к интегралу от рац. функции нового переменного с помощью следующих подстановок Эйлера.

21. Определение и геометрический смысл определенного интеграла.

Опр. интеграл от f(x) на АВ наз. число, равное пределу инргр. сумме при неогранич. разбиении АВ на части и стремлении max из длин стремлении к нулю, если этот предел сущ. и не зависит ни от выбора точек на частичных отрезках, ни от с-ба разбиения АВ на части.

Геом. смысл: Пусть функция y = f (x) неотрицательна на отрезке [a; b]. Фигура, ограниченная графиком функции

y=f(x), заданной на отрезке [a;b], двумя прямыми x = a и x = b, а также отрезком [a;b] оси абсцисс, называется криволинейной трапецией.