- •1.Фнп. Основные понятия. Предел и непрерывность фнп.
- •2. Частные производные фнп, их геом. Смысл. Частные производные высших порядков.
- •3.Дифф-сть фнп. Необходимые условия дифф-ти. Достаточное условие дифф-ти.
- •4. Полный дифференциал фнп и его применение в приближенных вычислениях.
- •5. Частные производные сложной функции. Полная производная функции
- •6. Производная от функции, заданной неявно.
- •7.Градиент фнп и его основные свойства.
- •8.Необх. И дост. Условия лок. Экс. Ф-ции 2 переменных.
- •15. Таблица неопределенных интегралов. Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •16. Метод интегрирования по частям. Некоторые типичные интегралы, берущиеся по частям.
- •17. Простейшие рациональные дроби. Метод неопределенных коэффициентов.
- •19. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •21. Определение и геометрический смысл определенного интеграла.
- •22. Условия интегрируемости функции. Свойства определенного интеграла, его экономический смысл.
- •23. Формула Ньютона-Лейбница.
- •24. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •25. Приложения определенного интеграла (формулы для площади плоской фигуры и для длины дуги кривой).
- •26. Несобственные интегралы первого рода, их геом. Смысл. Признаки сравнения нес. Интегралов 1-го рода.
- •27. Несобственные интегралы второго рода, их геом. Смысл. Признаки сравнения нес. Интегралов 2 рода
- •29. Повторные интегралы. Вычисление 2-ых интегралов.
- •30. Применение двойных интегралов в геометрии.
- •31.Основные понятия оДу. Т. О сущ-и и ед-ти. Задача Коши. Общий интеграл и общее решение ду. Частные решения. Геом. Смысл ду.
- •32. Ду с разделяющимися и разделен. Переменными.
- •33. Однородные ду первого порядка.
- •34. Линейные ду первого порядка. Метод Бернулли.
- •35. Лоду 2 порядка с постоянными коэффициентами.
- •36. Линейные неоднородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами и спец. Правой частью.
- •38. Необходимой условие сходимости числового ряда. Признаки сравнения рядов с неотр. Членами.
1.Фнп. Основные понятия. Предел и непрерывность фнп.
Если каждой упорядоченной совокупности значений переменных х1, х2,..., хп соответствует определенное значение переменной z, то будем называть z ФНП х1, 2,..., пх х и записывать z = f (x1, x2,..., xn) . В случае n = 2: z = f (x, y) ; Совокупность наборов (х1, х2, ..., хп) (точек ℝn ) при которых определяется функция z = f (x1, x2, ..., xn) называется областью определения. Область определения функции двух переменных- некоторое множество точек плоскости. Геом. изображением или графиком функции двух переменных z = f (x, y) - множество точек пространства (х, у, f (x, y)), определяющее, поверхность в системе координат Oxyz . Линией уровня функции z = f (x, y)-множество точек плоскости Oxy , для которых данная функция имеет одно и то же значение (изокривая). Поверхностью уровня функции u = f (x, y,z) - множество точек пространства ℝ3, для которых данная функция имеет одно и то же значение (изоповерхность). Окрестностью радиуса r точки М0(х0, у0) - совокупность всех точек M (х, у) удовлетворяющих неравенств Число A
называется пределом функции z = f (x, y) при стремлении точки М (х, у) к точке М0(х0, у0) (или при х → х0, →уу 0 ), если для ∀ε > 0 ∃r > 0, такое, что для всех точек М (х, у) , удовлетворяющих условию d(M,M0) < r. Функция z = f (x, y) наз. непрерывной в точке (x0, y0) , если она: 1) определена в точке (x0, y0) ; 2) имеет конечный предел при x → x0, y → y0; 3) предел равен значению функции в точке.
Функция z=f(x,y) наз. Непрерывной в области D, если функция непрерывна в каждой точке рассматриваемой области.
2. Частные производные фнп, их геом. Смысл. Частные производные высших порядков.
ЧПФ нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении приращения переменной к нулю (если этот предел существует).Геом. изображением функции z = f (x, y) является некоторая поверхность P. Полагая, у = const, получим некоторую плоскую кривую.
Поскольку при нах. ЧП по переменной х, у-фиксирован., получаем равенство: tgα=∂z/∂x(x0,y0), =∂z/∂x(x0,y0)=tgβ. ЧП является функциями от 2 переменных. Можно найти производные от этих функций, они наз. ЧП 2 порядка.
3.Дифф-сть фнп. Необходимые условия дифф-ти. Достаточное условие дифф-ти.
Функция z = f (x, y) наз. дифф-ой в точке М0(х0, у0) если ее полное приращение в этой точке. Если функция z = f (x, y) дифф-ема в точке М0( х0, у0) , то она непрерывна в этой точке. Необх. условия дифф-сти: Если функция z=f(x,y) дифф-ма в М0(х0,у0), то она имеет в этой точке ЧП f’х(x0,y0) и f’у(x0,y0), причем f’х(x0,y0)=А, f’у(x0,y0)=В. Достаточное условие дифф-сти: если функция z = f (x, y) имеет частные производные в некоторой r-окрестности точки М0(х0, у0), непрерывные в самой точке М0(х0, у0), то функция дифференцируема в этой точке.