- •Вопрос1
- •1.Матрицы и линейные действия с ними. Свойства линейных операций с матрицами.
- •Вопрос2
- •3.Перестановки n чисел, их свойства, четные и нечетные перестановки, транспозиции.
- •Вопрос3 Определитель.
- •Вопрос1
- •Вопрос2
- •Вопрос3
- •Критерий совместимости системы лау. Теорема Кронекера-Копелли.
- •Вопрос4
- •Вопрос5
- •Вопрос1.
- •Вопрос2
- •Вопрос3
- •Вопрос4
- •Вопрос5
- •Вопрос1Евклидовы пространства. Определения и примеры.
- •Вопрос2
- •Вопрос1
- •Вопрос3 Матрицей оператора в базисе называется квадратная матрица порядка n, в j - том столбце которой стоят координаты вектора в базисе .
- •Вопрос4
- •Вопрос1
- •Вопрос3
- •Вопрос4
- •Вопрос3
Вопрос2
Ортогональное дополнение мн-ва.теорема о разлож.унит.пр-ва в прямую сумму подпр-ва.
Def: Два подпространства и унитарного (евклидова) пространства называется ортогональными , если : или
Lem 1: Если , то {θ}
Док-во: Пусть , т.е. и , т.к. , то θ #
Пусть ─ подпространство пространства ( или ). #
Def: Ортогональн доп-ем подпр-ва пр-ва наз-ся множ-во всех векторов, ортогональных подпр-ву ,т.е. =
Пример: V-пространство всех геометрических (свободных) векторов
-подпространство всех векторов параллельных некоторой плоскости
─ подпространство всех векторов, перпендикулярных данной плоскости.
Утв::
Ортогональное дополнение произвольного подпространства пр-ва V само является подпространством данного пространства
Док-во: В самом деле, :
#
Lem 2 (критерий): ] ─ базис в подпространстве . Вектор ; , …,
Док-во: Необходимость: Пусть , тогда в том числе .
Достаточность: Пусть , поскольку : , то #
Th:
Унитарное (евклидово) пространство есть прямая сумма произвольного подпространства и его ортогонального дополнения , т.е. (прямая сумма)
Док-во:
Пусть ── ОНБ в подпространстве .
Возьмем произвольный в-р и сопоставим следующий в-р:
имеем (скалярное умножение на ):
следовательно по Лемме 2
, т.е. : , где ,
. Но
следовательно по Лемме 1
{θ}, откуда по определению прямой суммы вытекает, что #
Следствие 1:
Док-во: Доказательство следует из теоремы 2 § 5 гл. III (Пусть V – сумма подпространств V1 и V2, тогда ) #
Вопрос1
Определение линейного оператора. Простейшие свойства. Примеры. Действия с линейными операторами и их свойства.
V – некоторое линейное пространство. L(V) – множество всех линейных операторов, действующих в пространстве V.
[О.1]: Оператором (преобразованием, отображением) линейного пространства V называется закон, по которому каждому элементу этого пространства xÎV ставится в соответствие единственный элемент из того же самого пространства yÎV. Будем обозначать операторы буквами A,B,C…
Ax=y; x-прообраз элемента y; y=Ax – образ элемента x (результат действия оператора).
[О.2]: оператор А, действующий в V, называется линейным, если выполняется следующие условия:
1) "x,yÎV: A(x+y)=Ax+Ay
2) "xÎV,"l: A(lx)=lAx
Простейшие свойства:
1° A(0)=0, где А-линейный оператор.
[Док-во]: пусть хÎV, тогда 0=0x A(0)=A(0x)=0(Ax)=0
2° Линейный оператор переводит противоположенный в противоположенный: A(-x)=-Ax
[Док-во]: "xÎV: А(-x)=A((-1)x)=(-1)Ax=-Ax
3° "x1,…,xkÎV, "l1,…,lk A(l1x1+…+lkxk)=l1Ax1+…+lkAxk.
4° Если система векторов x1,…,xk линейно зависима, то система образов так же линейно зависима, т.е существуют l1,…,lk такие, (не все равные нулю), что l1x1+…+lkxk=0
[Док-во]: A(l1x1+…+lkxk)=A0=0=> l1Ax1+…+lkAxk=0 => т.к. |l1|+…+|lk|¹0 Ax1+…+Axk линейно зависимы.
[О.3]: пусть А и В линейные операторы в V 1) A=B (A равен В), если "xÎV:Ax=Bx 2) Оператор I называется тождественным (или единичным), если "xÎV: Ix=x
3) O–нулевой оператор, если "хÎV: Ox=0.
Действия с линейными операторами.
[О.4]: 1) Суммой линейных операторов A,BÎL(V) называется оператор A+B, такой, что "хÎV: (А+В)х=Ах+Вх. 2) Произведением оператора А на l называется оператор lА, такой, что "хÎV: (lА)x=l(Аx)
[Теорема]: Множество L(V) является линейным пространством.
[Док-во]:
а)"x,yÎV:
(A+B)(x+y)=A(x+y)+B(x+y)=Ax+Ay+By+Bx=(Ax+Bx)+(Ay+By)=(A+B)x+(A+B)y.
б) "l: (A+B)(lx)=A(lx)+B(lx)=l(Ax+Bx)=l(A+B)x => L(V) – линейное пространство.
[О.5]: Произведением линейных оператором А,ВÎL(V) называется оператор АВ, такой, что "xÎV: (AB)x=A(Bx).
[Теорема]: Если A,BÎL(V), то (AB)ÎL(V)
[Док-во]: а)"x,yÎV AB(x+y)=A(B(x+y))=A(Bx+By)=A(Bx)+A(By)=(AB)x+(AB)y
б) "l: (AB)(lx)=A(Blx)=A(lBx)=l(A(Bx))=l(AB)x=>AB – линейный оператор.
Свойства:
1° (AB)C=A(BC)
[Док-во]: "XÎV ((AB)C)x=(AB)(Cx)=(A(B(Cx)))=A((BC)x)=(A(BC))x=>(AB)C=A(BC)
2° A(B+C)=AB+AC
[Док-во]: (A(B+C))x=A((B+C)x)=A(Bx+Cx)=A(Bx)+A(Cx)=(AB)x+(AC)x=(AB+AC)x=>A(B+C)= AB+AC.
3° (B+C)A=BA+CA
4° (lA)B=A(lB)=l(AB)
5° A0=0 6° AI=IA=A
Определение 9. Ядром линейного оператора называется множество всех векторов . Ядро оператора A будем обозначать Ker A. . Дефектом линейного оператора называется размерность его ядра. Дефект оператора будем обозначать Def A = dim Ker A
Образом линейного оператора называется множество всех векторов , таких что найдется (то есть все множество образов) . Образ оператора A будем обозначать Im A . .
Рангом линейного оператора называется размерность его образа .
Вопрос2 Обратный оператор для данного линейного оператора и его свойства. Критерий обратимости линейного оператора. Критерий обратимости линейного оператора. Матрица обратного оператора. Примеры обратимых и необратимых операторов.
Пусть V-линейное пространство, AÎL(V).
[О.1]: Множество всех векторов хÎV таких, что Ax=0, называется ядром оператора А: kerA=det{xÎV, Ax=0}. Множество всех векторов yÎV таких, что найдётся xÎV; y=Ax, называется образом оператора А, т.е. образ оператора А- это все элементы V такие, что ImA={yÎV:$xÎV, y=Ax}
[Теорема]: Ядро и образ линейного оператора AÎL(V) являются подпространством линейного пространства V.
[О.2]: Пусть V-линейное пространство и VÎL(V). Оператор А называется обратимым, если существует оператор В такой, что АВ=ВА=I. Если А-обратим, то A-1=B называют обратным к А.
Свойства обратного оператора:
1° Если у А существует обратный оператор, то он линейный.
[Док-во]: а)А-1(х+у)=А-1(Ix+Iy)=A-1((AA-1)x+(AA-1)y)=A-1(A(A-1x)+A(A-1)y))=A-1(A(A-1x+A-1y))=(A-1A)(A-1x+A-1y)=A-1x+A-1y
б) A-1(lx)=A-1(l(AA-1)x)=A-1(lA(A-1x))=A-1(A(lA-1x))=lA-1x=>A-1ÎL(V)
2° Если у А существует обратный оператор, то он единственный.
[Док-во]: Пусть существует B: AB=BA=I. A-1=A-1I=A-1(AB)=(A-1A)B=IB=B
3° Если оператор обратим, то его ядро равно нулевому элементу.
[Док-во]: Пусть хÎkerA: х=Ix=(A-1A)x=A-1(Ax)=A-1(0)=0
4° Если оператор обратим, то образ оператора тождественен V.
[Док-во]: "yÎV: y=Iy=(AA-1)y=A(A-1y)=AxÎImA. A-1y=x
[Теорема]: Критерий обратимости. AÎL(Vn) обратим тогда и только тогда, когда он невырожденный (т.е. detA¹
[Док-во]: 1) Пусть А-обратим, тогда существует A-1ÎL(Vn) АA-1=A-1А=I. Зафиксируем базис [e]= (e1,…,en) в Vn. [e]: A<->Ae, A-1<->(A-1)e, J<->E – единичная матрица. т.к. АA-1= A-1А=I, то Ae(A-1)e=(A-1)eAe=E=>detAe¹0, т.е. А-невырожденный => (A-1)e=Ae-1 2)Пусть detA¹0, тогда [e]: A<->Ae detA=detAe¹0=>матрица имеет обратную Ae-1. В базисе [e] существует BÎL(Vn): Be=Ae-1. AeAe-1= Ae-1Ae=E <-> AB=BA=J=>оператор B обратим к оператору А В=A-1;Be=Ae-1.