7. Понятие задачи двойственной к задаче математического программирования. Задача двойственная к стандартной задаче лп (вывод соотношений).

Двойственная задача - это вспомогательная задача ЛП, формулируемая с помощью определенных правил непосредственно из условий исходной, или прямой, задачи. Приведем обобщенную формулировку двойственной задачи ЛП, которая применима к любой форме представления прямой задачи. В основу такой формулировки положен тот факт, что использование симплекс-метода требует приведения любой задачи ЛП к стандартной форме. Следует, однако, помнить, что приводимая ниже формулировка двойственной задачи является обобщенной в том смысле, что она применима ко всем формам прямой задачи.

Для математической задачи: всегда можно построить двойственную задачу вида:

8. Экономическая интерпретация двойственной задачи. Постановка задачи двойственной к задаче лп с ограничениями типа равенств и неравенств.

    Для проведения содержательной интерпретации двойственной задачи (II) свяжем переменные двойственной задачи

           

            Пусть L* - максимальное значение дохода в задаче (I). Если запасы ресурсов , i=1,...,m изменить, то может измениться и максимальный доход L*. Это означает, что L* является функцией от ресурсов , i=1,...,m, т.е.

                                  

            Рассмотрим отношение приращения дохода  к приращению i-го ресурса           ;

            Тогда по определению частной производной функции

                       

            Но по первой теореме двойственности оптимальное значение целевой функции прямой задачи совпадает с оптимальным значением целевой функции двойственной задачи

           

            Таким образом, оптимальное значение двойственной переменной                                                   

 числено равно дополнительному доходу  при увеличении   i-го ресурса на единицу, если величина  является достаточно малой по сравнению с величиной Полученный вывод имеет очень важное практическое применение. Пусть L*- максимальное значение дохода в задаче (I),

           

Тогда, изменяя i-й ресурс  на единицу, получим новое значение максимального дохода по формуле

           

или более общий вид

               

Двойственные переменные

                                  

называются оценками (теневыми ценами, ценностями) соответствующих ресурсов i=1,..., m, и характеризуют меру эффективности использования соответствующих ресурсов.

Рассмотрим задачу ЛП

(1)

или, в матричной записи,

(2)

Задачей, двойственной к (1) (двойственной задачей), называется задача ЛП от переменных вида

(3)

или, в матричной записи,

(4)

где .

Правила построения задачи (3) по форме записи задачи (1) таковы: в задаче (3) переменных столько же, сколько строк в матрице задачи (1). Матрица ограничений в (3) — транспортированная матрица . Вектор правой части ограничений в (3) служит вектором коэффициентов максимизируемой линейной форме в (1), при этом знаки неравенств меняются на равенство. Наоборот, в качестве целевой функции в (3) выступает линейная форма, коэффициентами которой задаются вектором правой части ограничений задачи (1), при этом максимизация меняется на минимизацию. На двойственные переменные накладывается условие неотрицательности. Задача (1), в отличии от двойственной задачи (3) называется прямой.

№9. Основное неравенство двойственности.

Для любых допустимых планов прямой и двойственной задачи ЛП справедливо неравенство:

Доказательство:

№10. Критерий оптимальности Канторовича.

Если для некоторых допустимых планов х* и у* пары двойственных задач выполняется равенство f(x)=g(y), то х* и у* являются оптимальными планами соответствующих задач.

Доказательство. Согласно основному неравенству двойственности, для любого допустимого плана х* прямой задачи и допустимого плана у двойственной справедливо неравенство g(y) < f(x*). Но по условию g(y*) = f(x*). Отсюда в силу транзитности отношений < и =, получим g(y)< g(y*). Так как у – произвольный план, то g(y*) есть максимальное значение целевой функции, то есть у – оптимальный план двойственной задачи. Аналогично доказывается, что х* является оптимальным для прямой задачи.

№11. Основная теорема двойственности, теорема о дополняющей нежесткости.

Основная теорема:

Если одна из задач двойственной пары имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой, т. е. Если же целевая функция одной задачи из двойственной пары неограниченна сверху или снизу, то другая задача вообще не имеет планов. Экономическое содержание первой теоремы двойственности состоит в следующем: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. Причем цена продукции, полученной при реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой ресурсов.

Теорема о…:

Допустимые решения и соответственно прямой и двойственной задачи оптимальны тогда и только тогда, когда выполняются условия: .

№12. Теорема об оценках. Нахождение интервала изменения ресурса.

Теорема:

F(x) – значение целевой функции в оптимальном плане

-значение целевой функции зависит от вектора b

Двойственные оценки переменных показывают приращение целевой функции , вызванное изменением свободного члена соответствующего ограничения:

Замечание: если F(x) невырожденная , то существует относительность точки и (b), такая, что

Показывает, на сколько увеличиться целевая функция, если соответствующий ресурс увеличить на 1

№13. Верхняя и нижняя цена игры. Седловая точка, оптимальные стратегии, цена игры.

Величина - гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе игрок 1, называется нижней ценой игры (максимином). . Стратегия, обеспечивающая получение нижней цены игры , называется максиминной стратегией. Если игрок 1 будет придерживаться своей максиминной стратегии, то ему гарантирован выигрыш, не меньший при любом поведении игрока 2.

Наименьшее значение среди обозначим - это верхняя цена игры (минимакс), которая определяется по формуле: . Стратегия игрока 2, обеспечивающая выигрыш , является его минимаксной стратегией. Если игрок 2 будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то он гарантирован, что в любом случае проиграет не больше .

Существуют игры, для которых нижняя цена равна верхней, т.е. . Такие игры назыв. играми с седловой точкой.

Общее значение нижней и верхней цены игры в играх с седловой точкой называется чистой ценой игры, а стратегия и , позволяющие достичь этого значения, - оптимальными. Пара оптимальных стратегий называется Седловой точкой матрицы. Оптимальные стратегии и чистая цена игры являются решением игры. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях. Под чистой стратегией понимается такая стратегия, которая выбрана игроком сознательно, без привлечения механизма случайного выбора.

№14. Матричные игры. Оптимальные стратегии, существование оптимальных смешанных стратегий.

Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 2, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям). Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение и оно может быть легко найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.

Если матрица игры содержит седловую точку, то ее решение находится по принципу минимакса. Применение минимаксных стратегий каждым из игроков обеспечивает первому выигрыш не меньше , а второму проигрыш не больше . Учитывая, что , естественно для игрока 1 желание увеличить выигрыш, а для игрока 2 – уменьшить проигрыш. Поиск такого решения приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более чистых стратегий с определенными частотами. Такая сложная стратегия в теории игр называется смешанной. Смешанные стратегии игроков обозначаются соответственно и , где - вероятности применения чистых стратегий и , ; , при этом .

Цена игры - средний выигрыш, приходящийся на одну партию, - всегда удовлетворяет условию , т.е. лежит между нижней и верхней ценой игры.

Оптимальное решение игры в смешанных стратегиях обладает свойством, которое заключается в том, что каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной смешанной стратегии, если его противник применяет оптимальную смешанную стратегию, так как это ему невыгодно.

Стратегии игроков, входящие в их оптимальные смешанные стратегии, называются активными.

Теорема. Применение оптимальной смешанной стратегии обеспечивает игроку максимальный средний выигрыш (или минимальный средний проигрыш), равный цене игры , независимо от того, какие действия предпринимает другой игрок, если только он не выходит за пределы своих активных стратегий.

№15. Необходимое и достаточное условие оптимальности смешанных стратегий. Теорема о спектре и следствия из нее.

Смешанные стратегии, образующие ситуацию равновесия, называются оптимальными смешанными стратегиями.

Условие: Для того, чтобы функция на множестве X,Y имела седловую точку, необходимо и достаточно выполнения равенства: , чтобы существовала цена игры:

Спектром смешанной стратегии «р» 1-го игрока:

supp(p) – назв. множество номеров стратегий констант таким, что

Теорема: пусть оптимальные смешанные стратегии 1-го и 2-го игроков соответственно и пусть -цена игры смешанной стратегии: . Тогда, если

. Т.е., если 1 игрок применяет стратегию i не принадлежащую спектру оптим. смешанной стратегии 1 игрока . Аналогично

Следствие 1: если , то тогда выполняется равенство: , т.е. если 1 игрок применяет мат. смешанную стратегию, которая принадлежит спектру, а 2 игрок применяет свою оптимальную смешанную стратегию, то общий результат будет равен цене игры .

Следствие 2: , т.е 1 игрок может огранич-ть свои maxmin стратегии, результатом , а соответственно второй игрок может ограничит свои minmax стратегии результатом .

№16. Доминирование стратегий, теорема о доминировании.

Доминирование в теории игр — ситуация, при которой одна из стратегий некоторого игрока дает больший выигрыш, нежели другая, при любых действиях его оппонентов. Обратное понятие, нетранзитивность, возникает, если некоторая стратегия может давать меньшие выигрыши, чем другая, в зависимости от поведения остальных участников.

При выборе своей стратегии из множества допустимых игрок сравнивает по предпочтительности исходы от их применения. Может возникать три типа результатов:

• Стратегия В доминирует стратегию A, если при любом поведении остальных игроков использование стратегии В приводит к не худшему исходу, нежели использование А. Различают строгое доминирование, когда В дает больший выигрыш, чем А, в любых условиях, и слабое доминирование, если при некоторых действиях других игроков В обеспечивает больший выигрыш, чем А, а при других — одинаковый с ней.

• Стратегия В доминируется стратегией A, если при любом поведении остальных игроков стратегия В приводит к не лучшему исходу, нежели стратегия А. Аналогично предыдущему случаю, стратегия может доминироваться строго и слабо.

• Стратегии А и В называются нетранзитивными, если В не доминирует А и А не доминирует В. Это оначает, что в зависимости от выбора стратегий другими игроками, большие выигрыши игроку может обесппечивать как выбор стратегии А, так и В.

Это понятие обобщается на сравнение более чем двух стратегий:

• Стратегия B называется строго доминирующей, если она строго доминирует любую другую допустимую стратегию игрока.

• Стратегия B называется слабо доминирующей, если она доминирует любую другую допустимую стратегию игрока, при этом некоторые из них доминируются слабо.

• Стратегия B называется строго доминируемой, если существует другая стратегия, которая строго ее доминирует.

• Стратегия B называется слабо доминируемой, если существует другая стратегия, которая слабо ее доминирует.

Теорема о доминировании. Если в матричной игре с матрицей A=(a_ij), i=1,..,n; j=1,..,m i₀-я строка строго доминируется выпуклой комбинацией других строк, то i₀-я чистая стратегия игрока 2 не входит с положительной вероятностью ни в одну его оптимальную стратегию и, следовательно, при решении игры i₀-я строка может быть вычеркнута из матрицы. Если j₀-й столбец матрицы строго доминирует выпуклую комбинацию других столбцов, то j₀-я чистая стратегия игрока 2 не входит с положительной вероятностью ни в одну его оптимальную стратегию и, следовательно, при решении игры j₀-й столбец может быть вычеркнут из матрицы.

№17. Динамическое программирование. Условия применимости, принцип оптимальности Беллмана. Уравнение Беллмана для задачи распределения инвестиций, задачи коммивояжера.

Динамическое программирование - раздел математического программирования, в котором процесс принятия решения и управления может быть разбит на отдельные шаги. Раздел математического программирования, совокупность приемов, позволяющих находить оптимальные решения, основанные на вычислении последствий каждого решения и выработке оптимальной стратегии для последующих решений. ДП позволяет свести одну сложную задачу со многими переменными ко многим задачам с малым числом переменных. ДП позволяет осуществить оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов и процессов, зависящих от времени. Экономический процесс называется управляемым, если можно повлиять на ход его развития. Управлением называется совокупность решений, принимаемых на каждом этапе с целью влияния на ход процесса. Началом этапа управляемого процесса считается момент принятия решения. Планируя многоэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.

Важным условием применимости рассматриваемого метода является возможность разбиения процесса принятия решений на ряд однотипных шагов или этапов, каждый из которых планируется отдельно, но с учетом результатов, полученных на других шагах.

Принцип оптимальности Беллмана: важнейший принцип динамического программирования, согласно которому последующее решение должно составлять оптимальное поведение относительно состояния, получаемого в результате первоначального решения, какими бы они ни были. Следовательно, если имеется оптимальная траектория, то и любой ее участок представляет собой оптимальную траекторию.

Уравнение Беллмана для задачи коммивояжера:

Если и , то

Для задачи распределения инвестиций:

№18. Ориентированный граф, основные определения. Задача сетевого планирования.

Математически конечным графом G называется пара (Е,е), где Е – непустое конечное множество элементов (вершин), а е – конечное (возможно, пустое) множество пар элементов из Е (дуг или ребер).

Дугой называется ориентированная пара ( ) вершин графа и , где - начальная вершина дуги, а - конечная.

Граф называется ориентированным, если связи между его вершинами заданы дугами. Орграф называется симметрическим, если для любой дуги дуга , и антисимметрическим, если для любой дуги дуга .

Путем в орграфе называется такая конечная последовательность дуг , в которой начало каждой последующей дуги совпадает с концом предыдущей.

Контуром называется путь, начальная вершина которого совпадает с конечной. Длина пути или контура – число дуг, входящих в путь или контур. Путь называется простым, если ни одна дуга в нем не встречается дважды, и элементарным, если ни одна вершина не встречается дважды.

Задача сетевого планирования состоит в том, чтобы графически, наглядно и системно отобразить и оптимизировать последовательность и взаимозависимость работ, действий или мероприятий, обеспечивающих своевременное и планомерное достижение конечных целей.

№19. Модели управления запасами. Основные понятия. Однопродуктовая статическая модель.

Задачи управления запасами возникают, когда необходимо создать запас материальных ресурсов или предметов потребления с целью удовлетворения спроса на заданном интервале времени. Любая модель должна ответить на 2 вопроса: 1) какое количество продукции заказывать; 2) когда заказывать. Ответ на 2 вопрос зависит от вида контроля за объемом запасов. Контроль бывает периодическим и непрерывным.

Точка заказа – объем запаса на складе, при котором делается новый заказ.

Модели делятся:

1) Детерминированные (статические и динамические). Все параметры – неслучайные величины.

2) Вероятностные(статические и динамические). Часть параметров – случайные величины.

Затраты на приобретение становятся важным фактором, когда цена единицы продукции зависит от размера заказа, что обычно выражается в виде оптовых скидок в тех случаях, когда цена единицы продукции убывает с возрастанием размера заказа.

Затраты на оформление заказа представляют собой постоянные расходы, связанные с его размещением. При удовлетворении спроса в течение заданного периода времени путем размещения более мелких заказов (более часто) затраты возрастают по сравнению со случаем, когда спрос удовлетворяется посредством размещения более крупных заказов (и, следовательно реже).

Затраты на хранение запаса, которые представляют собой расходы на содержание запаса на складе (затраты на переработку, амортизационные расходы, эксплуатационные расходы) обычно возрастают с увеличением уровня запаса.

Потери от дефицита представляют собой расходы, обусловленные отсутствием запаса необходимой продукции.

Оптимальный уровень запаса соответствует минимуму суммарных затрат.

Однопродуктовая статическая модель:

Модель управления запасами простейшего типа характеризуется постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием дефицита.

Предполагается, что интенсивность спроса (в единицу времени) равна b . Наивысшего уровня запас достигает в момент поставки заказа размером y (предполагается, что запаздывание поставки является заданной константой). Уровень запаса достигает нуля спустя у/b единиц времени после получения заказа размером у.

Пусть К – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении, h – затраты на хранение единицы заказа в единицу времени. Следовательно, суммарные затраты в единицу времени можно представить в виде: .

Продолжительность цикла движения заказа составляет t₀=у/b.

Средний уровень запаса равен у/2.

Оптимальный размер заказа: -формула экономичного размера заказа Уилсона.

№20. Однопродуктовая статическая модель с разрывом цен.

В предыдущей модели не учитывались удельные затраты на приобретение товаров, т.к. они постоянны и не влияют на уровень запаса. Однако нередко цена единицы продукции зависит от размеров закупаемой партии. В таких случаях цена меняется скачкообразно или предоставляются оптовые скидки. При этом в модели управления запасами необходимо учитывать затраты на приобретение.

- количество ед. товаров в ед. времени

y – объем заказа. Не допускается дефицит.

К – стоимость оформления заказа

h – стоимость хранения ед. товара в ед. времени

- цена, если объем закупаемого товара меньше q

- цена, если объем закупаемого товара .

q – размер заказа, при превышении которого предоставляется скидка.

Суммарные затраты на единицу времени: ,

.

-формула экономичного размера заказа Уилсона

; ; ;

-время выполнения заказа

№21. Однопродуктовая n этапная динамическая модель, случай постоянных или убывающих предельных затрат.

В этой модели предполагается, что, хотя спрос достоверно известен, он может изменяться от этапа к этапу. Уровень запаса контролируется периодически. Хотя запаздывание поставки (выраженное фиксированным числом периодов) допустима, в модели предполагается, что пополнение запаса происходит мгновенно в начале этапа. Наконец, дефицит не допускается.

Построение динамической детерминированной модели сводится к конечному горизонту времени. Это объясняется тем, что для получения числового решения соответствующих задач требуется использование метода динамического программирования, который в данном случае можно практически применять только при конечном числе этапов (шагов).

-объем заказа

-исходный запас

-затраты на оформление заказа

-затраты на хранение заказа

-цена

-функция предельных затрат, связанных с закупкой (производством) при заданном значении

Случай постоянных или предельных убывающих затрат:

Если в рамках одного этапа предельные издержки на ед. продукции не возрастают (издержки на хранение постоянны, а стоимость продукции неизменна или в определенный момент времени начинает уменьшаться) и при этом , тогда выполняется 2 соотношения:

1)

2) оптимальная величина заказа на этапе равна либо 0, либо сумме спроса на этом и (или) нескольких последующих этапах.

№22. n этапная модель календарного планирования производства, модель без дефицита, модель с дефицитом.

Спрос может меняться от этапа к этапу. Допускается дефицит на внутренних этапах, но к концу он должен быть истреблен.

-производственные затраты на ед. продукции при обычном режиме работы

-производственные затраты на ед. продукции при сверхурочном режиме работы.

-затраты на хранение ед. продукции, переходящей с этапа i на этап

-потери от дефицита на ед. продукции, требуемой на этапе i, недопоставленной на этапе i+1.

-производственная мощность ед. продукции на i этапе при обычном режиме работы

-//-//-//-// при сверхурочном режиме работы

-спрос на продукцию на i этапе.

Решение сводится к транспортной задаче:

				Избыт.
				0
				0
				0
				0
				0

№23. Вероятностная одноэтапная модель при мгновенном спросе без затрат на оформление заказа.

x – начальный запас

y – количество закупаемой продукции

q=y+x – максимальный запас товара

- случайная величина спроса

h – издержки на хранение

p – потери от дефицита ед. продукции (может трактоваться как упущенная выгода)

с – стоимость ед. продукции

-функция плотности распределения спроса

-величина запаса, хранимого на складе

-величина дефицита

№24. Марковские цепи, переходные вероятности, безусловные вероятности. Классификация состояний Марковской цепи.

Марковские цепи – случайные процессы, обладающие тем свойством, что при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого.

Пусть имеется некоторая система S, она находится в состоянии в зависимости от того, сколько этих состояний. -вероятность перехода. . Такая вероятность называется переходной, если эта вероятность не зависит от времени, то соответствующий процесс называется однородным.

Переходная матрица: Т.к. система должна находиться в переходном состоянии, то сумма вероятностей по строке равна 1.

Для однородной Марковской цепи безусловные вероятности состояний удовлетворяют уравению Колмогорова-Чепмена:

-вероятность перехода за m шагов.

Классификация состояний:

Марковская цепь называется неприводимой, если любое состояние может быть достигнуто из любого другого состояния за конечное число шагов.

Все состояния неприводимой Марковской цепи называются сообщающимися. Множество С называется замкнутым, если система, однажды оказавшись в одном из состояний этого множества, будет оставаться в множестве С в течение всех последующих переходов. Если замкнутое множество состояния С состоит из одного состояния , то состояние называется поглощающим. В неприводимой Марковской цепи замкнутым множеством может быть только множество всех состояний.

Пусть система находится в состоянии , если оно вернется в состояние через m шагов, то первое время возвращения равно m. -вероятность того, что 1-е время возвращения из состояния . -среднее время возвращения.

По 1-му времени возвращения состояния Марковской цепи классифицируют:

1)состояние невозвратное, если

2)возвратное состояние делится на: нулевое, если ; ненулевое, если

3)возвратное состояние является периодическим с периодом t, если возвращение в него возможно через число шагов, кратное t.

4)возвратное состояние называется эргодическим, если оно не 0 и не является периодическим.

5)неприводимая цепь явл. эргодической, если все ее состояния эргодические.

№25. Теорема о состояниях Марковской цепи, теорема о существовании предельного распределения.

Теорема о состояниях:

Все состояния неприводимой бесконечной Марковской цепи могут принадлежать к одному и только одному из следующих 3-х классов: невозвратные, возвратные нулевые, возвратные ненулевые.

Во всех случаях все состояния являются сообщающимися и имеют один и тот же период.

В частном случае, когда в цепи конечное число состояний, она не может содержать только невозвратные состояния или какие-либо ненулевые.

Теорема о существовании предельного распределения:

Если у неприводимой апериодической Марковской цепи:

1) все состояния невозвратные или нулевые, то при (предельное распределение не существует).

2) все состояния эргодические, то вектор (p называется предельным установившимся распределением)

определен однозначным и не зависит от нач. вектора

№26. Управляемые Марковские процессы с доходами, задача с конечным горизонтом планирования, метод итераций по стратегиям.

-доход, получаемый за один переход из состояния

-матрица переходов

-состояние системы

-ожидаемый доход, получаемый системой за m шагов, если система вышла из состояния .

Найдем доход за один переход – ожидаемый доход за 1 шаг из состояния во все остальные.

-номер действия; i – номер состояния

каждому состоянию приписываются некоторые действия

-ожидаемый доход за к остав. шагов при оптимальной стратегии на этих шагах

Уравнение Беллмана

-зависит от выбора действий; ; ;

№28. Модели теории массового обслуживания, основные определения. Характеристики входного потока, вывод дифференциальных уравнений.

Основные компоненты СМО – заказ поступления в систему и присоединения к очереди ранее поступивших, если такие имеются. Обслуживающий узел выбирает одно, находящееся в очереди требование и приступает к его обслуживанию. После завершения обслуживания приступает к след. заявке.

Дисциплина очереди: 1 пришел-1 обслужился; последний пришел-1обслужился; очереди с привилегиями.

Система может иметь 1 или несколько обслужив. узлов.

Источник заявок: 1)конечный; 2) бесконечный.

Допустимая длина очереди: 1)неограниченная; 2)системы без очереди; 3)системы с ограниченной очередью.

Характеристики: 1)распределение вероятностей в момент поступления заявок; 2)распределение вероятностей в продолжит. обслуживания заявки; 3)конфигурация обслуживающей системы; 4)дисциплина очереди; 5)вместимость блока ожидания(допустимая длина очереди); 6)емкость источника требования.

Роль Пуассоновского распределения вероятностей: Условия:

1) вероятность поступления заявки от зависит лишь от величины h и не зависит от количества заявок, имевших место до момента t, нет положения t на временной оси. Независимость положения t характеризует стационарность процесса. А от кол-ва заявок – отсутствие после действия. 2)вероятность поступления заявки в бесконечно малом интервале времени, принадл. интервалу (0;1); 3)на бесконечно малом интервале времени [t;t+h]. Поступает не более одной заявки

На интервале [t;t+h] поступит к заявок.

№32. СМО с одним обслуживающим узлом и неограниченной очередью, вывод основных соотношений для стационарного случая.

-вероятность того, что в системе находится n требований

-интенсивность входного потока, среднее количество заявок в системе

-среднее количество заявок обслужив. одним узлом

-среднее число находящихся в системе заявок; -среднее число заявок, находящихся в очереди

-средняя продолжительность прибывшей заявки в системе; -//-//-// в очереди.

;

. Вводим

; ;

;

;

;

№33. СМО с к узлами и неограниченной очередью, вывод основных соотношений для стационарного случая.

к – количество обслуживающих узлов

№34. СМО с потерями (АТС), формулы Эрланга.

к - обслуживающих узлов. Очередь не допускается.

-формулы Эрланга и

-среднее количество занятых приборов

-вероятность отказов в обслуживании

№35. Системы с ограниченным числом мест ожидания.

N – заявки; m – количество мест в очереди; к – количество обслуживающих узлов

N=m+k

№36. Функции полезности потребителя, кривые безразличия; предельная полезность; норма замены.

Функцией полезности потребителя называют функциюU(x)=U(x1,...xn), которая удовлетворяет следующим условиям:

1. Для любых двух наборов товаров x и y, таких, что x>y выполняется U(x)>U(y).

2. Для любых двух наборов товаров x и y, таких, что выполняется U(x)=U(y).

Значение, которое принимает функция полезности на конкретном наборе товаров, называют полезностью данного набора.

Кривая безразличия — кривая, изображающая все комбинации из двух благ, имеющих для экономического субъекта одинаковую полезность и по отношению к выбору которых он безразличен.