- •8.Условные вероятности; теорема умножения
- •16.Моменты n-го порядка. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •21. Простейший Пуассоновский поток
- •28.Оценка отклонения теоретического распределения от нормального; асимметрия и эксцесс.
- •30.Дискретные двумерные случайные величины
- •36. Коэффициент корреляции. Связь между…
- •54. Доверительный интервал для оценки мо при нЕизвестной дисперсии
- •56. Проверка статистических гипотез
- •14. Непрерывная св. Плотность распределения.
- •17.Мода, медиана и квантили
- •22.Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.
- •18.Целочисленные св и их производящие функции
- •23 Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа
- •24.Геометрическое распределение
- •25. Равномерное распределение
- •29. Совместная функция распределения
- •41.Распределение 2. (“хи-квадрат”).
- •52. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •53. Доверительный интервал для оценки мо при известной дисперсии
- •57. Критерий и его применение.
- •15. Математическое ожидание
- •19.Биномиальное распределение
- •20.Распределение Пуассона.
- •26. Показательное (экспоненциальное) распределение.
- •31.Непрерывные двумерные св
- •32.Зависимые и независимые св,
- •35.Числовые характеристики системы двух св: Моменты начальные и центральные, ковариация.
- •39. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
- •45. Теореме Чебышева. Теорема Бернулли. Цпт.
- •55.Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном мо.
- •58. Марковская зависимость испытаний.
- •59. Переходные вероятности.
1.Предмет теории вероятностей. События.Алгебра событий. Теория вероятностей–раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений. Разница между закономерными и случайными событиями. Закономерное событие–это событие, которое всегда осуществляется, как только создаются определённые условия. Закономерное явление – это система закономерных событий. Случайные события–это события, которые при одних и тех же условиях иногда происходят, а иногда нет. Однако случайные события подчиняются некоторым закономерностям, которые называются вероятностными закономерностями, при этом надо условится, что мы будем иметь дело не со всякими случайными событиями, а с массовыми, то есть будем предполагать, что в принципе можно создать много раз одни и те же условия, при каждом из которых могут произойти или нет некоторые случайные события. Пусть при осуществлении некоторых условий (N раз), случайное событие A, будет осуществляться N(А) раз. Число N(А) – называется частотой событий A, а отношение – относительной частотой события А.Если N велико, относительная частота для случайных массовых событий обладает свойством устойчивости. Пример: –серия испытаний. – относительная частота испытаний. …
Относительная частота колеблется около определенного числа, которое характеризует данное случайное событие. Р(А) – вероятность события А.
Примеры:1)Пусть случайное событие A – выпадение герба при одном подбрасывании симметричной однородной монеты, Р(А) = 1/2 – вероятность выпадения герба.2)Статистика рождений показывает, что мальчиков рождается несколько больше, чем девочек. Доля рождения мальчиков 0,51-0,52.Р(А) = 0,51; 0,51 – вероятность рождения мальчиков. События. Достоверное событие – событие, которое всегда происходит (Ω).Невозможное событие – событие, которое не происходит никогда ().Событие Ā – событие противоположное событию A. Ā происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A.Суммой событий A и B называется событие A+B, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит или A, или B, или оба вместе. Произведением событий A и B называется событие AB, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят A и B вместе. Разностью событий A и B называется событие A-B, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит A и не происходит B.События A и B несовместны, если AB=.Событие A влечет за собой событие B, если из наступления события A следует наступление события B (A B).События A и B называются равносильными A=B, если выполняются одновременно два включения A=B A B и B A.Пример: Бросается игральная кость. A = {выпадает четное число очков} и B = {выпало число очков, не большее трех}Решение: Выпало число очков отличное от 5 (A+B).Выпало 2 (AB).Выпало число очков равное 4 или 6 (A-B).Выпадает нечетное число очков (Ā).
3.Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности. Рассмотрим случай конечного вероятностного пространства. В этом случае состоит из конечного числа элементарных событий . = {} A – алгебра всех подмножеств (ввиду конечности вероятностного пространства алгебра автоматически является -алгеброй), тогда вероятность P(A) для любого подмножества A задаем следующим образом. Пусть заданы неотрицательные числа P, которые удовлетворяют следующему требованию , тогда вероятность события (*) (способ введения вероятности на конечном вероятностном пространстве).Очевидно, что так определенная вероятность вместе P()=0 будет удовлетворять всем аксиомам. Обозначим через - – количество элементов в множестве A. Частным случаем определения вероятности по формуле (*) будет так называемое классическое определение вероятностей, когда все P будут равны друг другу, так как ; ; – формула классической вероятности (**)
Замечание:Модель вероятностного пространства, приводящая к классическому определению вероятностей, когда элементарные события обладают свойствами «симметрии».
Пример:Бросается кубик на стол. 1 = {выпадает 1} 2 = {выпадает 2} – свойства симметрии
9.Формула полной вероятности
Система событий A1,…,An называется конечным разбиением(разбиением) пространства , если они:
1)попарно несовместны, т.е. AiAj=, если i j.
2) A1+A2 +… An =.
Теорема (Формула полной вероятности)
Если A1,…,An – разбиение и все P(Ai)>0, то для всех событий B .
Доказательство:B=B=B(A1+…+An)=BA1+…+BAn
Пример. В урне находятся M-белых шаров и N-M-черных шаров. По схеме выборки без возвращения, последовательно выбираются два шара. Найти вероятность события B={второй вынутый шар белый}. A = {первый шар белый}. Ā={ первый шар черный}
Решение
A Ā = , A + Ā =
Пример показывает, что при правильно организованной жеребьевке шансы будут равны.
8.Условные вероятности; теорема умножения
N – число испытаний;
A, B, AB – события;
N(A), N(B), N(AB) – частоты событий;
– условная относительная частота события A при условии, что произошло событие B;
; ;
.
Если все относительные частоты событий устойчивы, тогда условная относительная частота тоже устойчива. Пусть P(B)>0.Условной вероятностью P(A|B) события A при условии, что событие B произошло, называется отношение .
P(A|B) = PB(A) (встречается в литературе).
Теорема умножения
Если P(A)>0, P(B)>0, а P(A|B), то вероятность произведения .
Доказательство:
Доказательство следует из определения.
Пример:
1 способ. В урне находятся M-белых шаров и N-M-черных шаров. По схеме выборки без возвращения, последовательно выбираются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.
A = {1 вынутый шар белый} B = {2 вынутый шар белый} AB = {оба шара белых}
,
.
2 способ. .
Следствие.
Пусть события A1,…,An таковы, что P(A1…An-1 )>0 тогда .
Доказательство: Доказательство проводится методом математической индукции.
13.Функция распределения случайной величины. Её свойства. Функция распределения СВДТ. Ряд распределения может быть построен только для СВДТ, для недискретных случайных величин из-за несчетности множества возможных значений такое представление невозможно. Наиболее общей формой закона распределения пригодной для всех типов случайных величин является функция распределения. Функция F(x)=Fx(x)=P{X<x}, xR называется функцией распределения СВ Х. С помощью функции распределения можно выразить вероятности попадания CB Х в различные интервалы вида x1X< x2 , x1X x2 , x1<X x2 , x1<X< x2 . Пусть x1 < x2 , тогда {X< x2} разложим в сумму двух несовместных событий {X<x2}={X< x1}+{ x1 X<x2}, тогда P{X<x2}=P({X< x1} +{ x1 X<x2})=P{X< x1}+
P{ x1 X<x2}; FX(x2)=FX(x1)+ P{ x1Xx2};P{ x1Xx2}= FX(x2)-FX(x1) (**) Событие {X>x} можно представить, как счетную сумму несовместных событий Согласно (**).
P{X>x}=1- FX(x+0); P{Xx}=1- P{X>x}=FX(x+0);
P{x1Xx2}=FX(x2+0)- FX(x1); P{ x1Xx2}=FX(x2+0)- FX(x1+0);P{ x1Xx2}=FX(x2)- FX(x1+0);
P{ X=x}=FX(x+0)- FX(x);
Теорема.
Функция FX(x) обладает следующими свойствами:
1. FX(x) – не убывает;
2. FX(x) – непрерывна слева;
3. FX(+)=1;
4. FX(-)=0;.
Доказательство 3 и 4:
1.Следует из (**), т.к. P{x1Xx2 }0.
2.Следует из аксиомы непрерывности 4, т.к. события
FX(x)= FX(x-0) .
Свойства 3, 4 вытекают из аксиомы счетной аддитивности (3*), т.к. =ΣAn (-<n<), где
An={ n-1X()<n}, тогда
Пусть (по теореме Вейeрштрасса).
(0 FX(N) 1 )
Из равенства P{X=x}=FX(x+0)-FX(x) следует, что в точках разрыва функции FX(x) имеет место положительная вероятность. P{X=x}>0
Так как при каждом натуральном n может быть не более n-точек x с вероятностями P{X=x}1/n, то у функции FX(x) имеется не более счетного числа точек разрыва.Обозначим через x1,x2,.. все точки разрыва функции FX(x), если вероятности P{X=x}=Pk таковы, что Σpk=1, то это равносильно тому, что СВ X имеет дискретное распределение, то есть является СВДТ.Замечание. Для СВДТ FX(x) имеет ступенчатый вид. Пример.
X -3 -1 0 2 3
P 0,1 0,3 0,1 0,3 0,2
Получить функцию распределения и построить ее график. Решение. FX(x)=P{X<x}, т.е. FX(x)=0(x-3); FX(x)=0,1(-3<x-1); FX(x)=0,4(-1<x0);
FX(x)=0,5(0<x2); FX(x)=0,8(2<x3); FX(x)=1(x>3);
P{X=2}= FX(2+0)- FX(2)=0,8-0,5=0,3;
P{-1<X2}=FX(2+0)-FX(-1+0)=0,8-0,4=0,4 Введем новое важное понятие индикатора события.
Опр:Индикатором события A A называется СВ : .
Ряд распределения случайной величины IA имеет следующий вид
IA 0 1
P 1–p p
где р-вероятность события А.