- •1.Ортогональные и ортонормированные системы функций, ряды Фурье по ортого-
- •§1 Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций
- •Частичные суммы рядов Фурье: ядро Дирихле, формулы Дирихле.
- •3.Сходимость ряда Фурье в точке: Принцип локализации, условие Гёльдера, теорема
- •4.Равномерная сходимость ряда Фурье: Неравенство Бесселя, Теорема о равномерной
- •5.Сходимость семейства функций: определение равномерной сходимости семейства
- •6.Собственные интегралы с параметрами: свойства, теорема о дифференцировании
- •§1. Собственные интегралы с параметрами
- •7. Равномерная сходимость несобственного интеграла с параметрами: определение,
- •8. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов: теоремы о предель-
- •9. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов: теоремы о диффе-
- •10. Эйлеровы интегралы. Гамма-функция: определение, основное соотношение, про-
- •§3. Эйлеровы интегралы
- •11. Интеграл Фурье: определение, теорема (с леммами) о сходимости интеграла Фу-
- •§4 Интеграл Фурье
- •12. Преобразование Фурье: определение, свойства (ограниченность и непрерывность
- •§5. Преобразования Фурье
- •13. Теоремы о преобразовании Фурье и дифференцировании. Преобразование Фурье
- •14. Системы множеств: определения кольца, минимального кольца. Теорема о сущест-
- •§1 Системы множеств
- •15. Мера клеточных множеств. Теорема о полуаддитивности меры клеточных мно-
- •16. Внешняя мера, измеримые множества, мера Лебега. Свойства внешней меры.
- •17. Теорема о конечной аддитивности меры Лебега. Теорема о счетной аддитивности
- •18. Теорема о непрерывности меры Лебега. Какие множества измеримы по Лебегу?
- •19. Обобщение понятие меры Лебега на случай всей плоскости. Пример неизмеримого
- •20.Мера Лебега-Стилтьеса. Понятие абсолютно-непрерывной, дискретной и сингу-
- •21. Общее понятие меры. Продоление меры. Теорема о существовании и единственно-
- •§3 Общее понятие меры
- •22. Лебегово продолжение меры. Структура системы измеримых по Лебегу множеств.
- •§4. Лебегово продолжение меры
- •23. Измеримые функции: определения (X,y ) – измеримой, -измеримой, борелев-
- •24. Теорема об арифметических операциях с измеримыми функциями. Теорема об из-
- •25.Понятие сходимости почти всюду. Теорема Егорова.
- •26. Понятие сходимости по мере. Две теоремы о связи сходимости по мере и сходимо-
- •27. Простые функции: определение, теорема о простой функции. Необходимое и дос-
- •28. Интеграл Лебега для произвольных функций. Свойства интеграла Лебега. Теорема
- •29. Предельный переход в интеграле Лебега. Теорема Лебега (с док-вом). Теоремы
- •30. Понятие сигма-конечной меры. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры.
- •31. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.
- •32. Произведение мер. Формула для нахождения меры множества с помощью интегра-
- •§ 7 Произведение мер. Теорема Фубини.
- •33. Пространства суммируемых функций l1 и l2 . Теорема о полноте пространства l1.
- •§ 8 Пространства суммируемых функций.
§1 Системы множеств
Вспомним некоторые формулы, связанные с симметрической разностью множеств:
, где - дополнение.
Определение 1. Непустая система множеств называется кольцом, если вместе с любыми двумя множествами она содержит их пересечение и симметрическую разность, т.е. и .
Условие равносильно условию . Это следует из формул, написанных выше и . Таким образом, в определении кольца вместо можно взять . Т.е. кольцо - это система множеств, замкнутая относительно операций пересечения, объединения, разности и симметрической разности двух (и любого конечного числа) множеств.
Если кольцо содержит хотя бы одно ненулевое множество, то . ( Если )
Пересечение любого числа колец является кольцом.
Примеры колец:
Множество ограниченных множеств из .
Множество измеримых по Жордану множеств.
Множество всех подмножеств множества . Например, для имеем .
Любую систему множеств, не являющуюся кольцом, можно дополнить до кольца.
Определение 2. Пусть - система множеств, . Кольцо и такое, что содержится в любом кольце, содержащем , называется минимальным кольцом над или кольцом порожденным .
Примеры:
.
Тогда
- множество всех промежутков на прямой, не является кольцом. Тогда - множество, состоящее из всевозможных конечных объединений промежутков.
Теорема 1. Для любой непустой системы множеств существует и единственно минимальное кольцо .
Существование докажем построением. Пусть - система всех подмножеств множества . Пусть - множество всех колец в и содержащих . Тогда - искомое минимальное кольцо над .
Единственность очевидна, т.к. если бы минимальных кольца было два, то их объединение также было бы искомым кольцом. ■
Определение 3. Множество называется единицей системы , если .
Определение 4. Кольцо с единицей называется алгеброй множеств.
Если - алгебра, то , т.е. алгебра множеств замкнута по отношению с дополнению.
Примеры:
- алгебра с единицей А.
- множество всех подмножеств А – алгебра с единицей А.
Система всех конечных подмножеств множества А – кольцо, но алгебра только если А – конечно.
В множество всех клеточных множеств лежащих внутри - алгебра с единицей .
Определение 5. Система множеств называется полукольцом если:
Примеры:
- полукольцо.
В множество всех прямоугольников образуют полукольцо.
На полукольце минимальное кольцо строится просто: .
Определение 6. Кольцо множеств называется -кольцом, если: . Кольцо множеств называется -кольцом, если: .
-алгеброй называется -кольцо с единицей.
-алгеброй называется -кольцо с единицей.
Замечание: понятия -алгебры и -алгебры равнозначны.
, ■
Примеры:
- -алгебра.
Множество клеточных множеств внутри прямоугольника не является -алгеброй.
Определение. Минимальной алгеброй ( -алгеброй) над называется алгебра ( -алгебра) и содержащаяся в алгебре ( -алгебре), содержащей .
Определение. Пусть -множество всех отрезков . Борелевским множеством называется элемент борелевской - алгебры , т.е. минимальной -алгебры над .