- •1.Ортогональные и ортонормированные системы функций, ряды Фурье по ортого-
- •§1 Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций
- •Частичные суммы рядов Фурье: ядро Дирихле, формулы Дирихле.
- •3.Сходимость ряда Фурье в точке: Принцип локализации, условие Гёльдера, теорема
- •4.Равномерная сходимость ряда Фурье: Неравенство Бесселя, Теорема о равномерной
- •5.Сходимость семейства функций: определение равномерной сходимости семейства
- •6.Собственные интегралы с параметрами: свойства, теорема о дифференцировании
- •§1. Собственные интегралы с параметрами
- •7. Равномерная сходимость несобственного интеграла с параметрами: определение,
- •8. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов: теоремы о предель-
- •9. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов: теоремы о диффе-
- •10. Эйлеровы интегралы. Гамма-функция: определение, основное соотношение, про-
- •§3. Эйлеровы интегралы
- •11. Интеграл Фурье: определение, теорема (с леммами) о сходимости интеграла Фу-
- •§4 Интеграл Фурье
- •12. Преобразование Фурье: определение, свойства (ограниченность и непрерывность
- •§5. Преобразования Фурье
- •13. Теоремы о преобразовании Фурье и дифференцировании. Преобразование Фурье
- •14. Системы множеств: определения кольца, минимального кольца. Теорема о сущест-
- •§1 Системы множеств
- •15. Мера клеточных множеств. Теорема о полуаддитивности меры клеточных мно-
- •16. Внешняя мера, измеримые множества, мера Лебега. Свойства внешней меры.
- •17. Теорема о конечной аддитивности меры Лебега. Теорема о счетной аддитивности
- •18. Теорема о непрерывности меры Лебега. Какие множества измеримы по Лебегу?
- •19. Обобщение понятие меры Лебега на случай всей плоскости. Пример неизмеримого
- •20.Мера Лебега-Стилтьеса. Понятие абсолютно-непрерывной, дискретной и сингу-
- •21. Общее понятие меры. Продоление меры. Теорема о существовании и единственно-
- •§3 Общее понятие меры
- •22. Лебегово продолжение меры. Структура системы измеримых по Лебегу множеств.
- •§4. Лебегово продолжение меры
- •23. Измеримые функции: определения (X,y ) – измеримой, -измеримой, борелев-
- •24. Теорема об арифметических операциях с измеримыми функциями. Теорема об из-
- •25.Понятие сходимости почти всюду. Теорема Егорова.
- •26. Понятие сходимости по мере. Две теоремы о связи сходимости по мере и сходимо-
- •27. Простые функции: определение, теорема о простой функции. Необходимое и дос-
- •28. Интеграл Лебега для произвольных функций. Свойства интеграла Лебега. Теорема
- •29. Предельный переход в интеграле Лебега. Теорема Лебега (с док-вом). Теоремы
- •30. Понятие сигма-конечной меры. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры.
- •31. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.
- •32. Произведение мер. Формула для нахождения меры множества с помощью интегра-
- •§ 7 Произведение мер. Теорема Фубини.
- •33. Пространства суммируемых функций l1 и l2 . Теорема о полноте пространства l1.
- •§ 8 Пространства суммируемых функций.
1.Ортогональные и ортонормированные системы функций, ряды Фурье по ортого-
нальным системам функций: определения, формулы для коэффициентов ряда Фу-
рье. Лемма Римана.
§1 Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций
П.1 Ортогональные системы функций
Пусть - множество (система) функций, , , тогда называется ортогональной системой , если ( ):
Система называется нормированной, если .
Если выполняются оба условия, то система называется ортонормированной.
Примеры:
1, sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x) … sin(nx), cos(nx) … - ортогональна на [0, 2 ] или [- , ].
1, , … , … - ортогональна на [a, b].
Многочлены Лежандра:
- ортогональная на [-1, 1].
П.2 Ряды Фурье по ортогональным системам функций
Пусть ортогональная система на [a,b],
числовая последовательность, .
Рассмотрим , пусть он сходится равномерно на [a, b] Лемма. Пусть равномерно на [a, b], тогда: (*)
□ =
= , (т.к. непрерывны на [a, b])
сходится равномерно , : , . Тогда и сходится равномерно. Значит, его можно проинтегрировать:
,
интеграл в правой части равен нулю, при и ■
Пусть произвольная функция. Если (*), то рассмотрим - ряд Фурье для функции по ортогональной системе функций . Числа , найденные по (*) называются коэффициентами Фурье.
Если абсолютно интегрируема на [a, b], то найдется ряд Фурье для , но он может сходиться не к или вообще расходиться.
Пример:
- ортогональна на ,
Обозначим
Тогда для коэффициентов Фурье справедливы формулы Фурье-Эйлера:
П.3 Лемма Римана
Пусть f(x) абсолютно интегрируема на [a, b] (конечный или бесконечный промежуток). Тогда:
Доказательство:
Пусть f(x) абсолютно интегрируема в собственном смысле, то есть
- интеграл Римана.
- разбиение [a, b]: ,
где , , , .
Рассмотрим
Последнее неравенство верно, т.к.
.
и - несобственные
Пусть b - особая точка. Тогда .
Аналогично доказывается, что .
Частичные суммы рядов Фурье: ядро Дирихле, формулы Дирихле.
П.1 Частичные суммы рядов Фурье. Формула Дирихле.
Пусть - абсолютно интегрируемая на
- тригонометрический многочлен; «2 »-периодическая функция.
- «2 »-периодическая функция
Лемма.
- ядро Дирихле.
Доказательство:
Свойства ядра Дирихле:
1) Бесконечно дифференцируемая функция;
2) Четная;
3) -периодическая;
4) .
Пусть – -периодическая. Получим формулу для частной суммы ряда Фурье:
соберём всё в один интеграл
Выполняя замену , получаем формулу
Выполняя замену в первом интеграле , получаем
.
- Формулы Дирихле
3.Сходимость ряда Фурье в точке: Принцип локализации, условие Гёльдера, теорема
Дирихле о поточечной сходимости ряда Фурье.
П.2 Сходимость ряда Фурье в точке
Теорема 1. (Принцип локализации)
Пусть – абсолютно интегрируема на - -периодическая.
Тогда
.
Пусть .
. Так как и , следовательно,
- абсолютно интегрируема, следовательно,
– абсолютно интегрируема на и по лемме Римана ∎
Следствие из принципа локализации:
Для т.е. .
Определение. Будем говорить, что функция удовлетворяет в точке условию Гёльдера, если:
и
- показатель Гёльдера.
Определим односторонние производные так:
Тогда если , то , ,
т.е. функция, имеющая односторонние производные в данной точке удовлетворяет условию Гёльдера с .
Примеры:
, ,
- удовлетворяет условию Гёльдера.
Теорема 2. (О поточечной сходимости ряда Фурье или Теорема Дирихле)
Пусть - абсолютно интегрируема на , - периодична и в точке удовлетворяет условию Гёльдера. Тогда ряд Фурье для в точке сходится к , т.е. .
Если непрерывна в точке .
умножая на и складывая с предыдущим равенством получаем:
Рассмотрим интеграл, стоящий в скобках, и подставим выражение для ядра Дирихле:
Обозначим =
;
- абсолютно интегрируема на .
Тогда по лемме Римана ■