11. Интеграл Фурье: определение, теорема (с леммами) о сходимости интеграла Фу-
рье. Интеграл Фурье в комплексной форме.
§4 Интеграл Фурье
П.1 Определение
Пусть
абсолютно интегрируема на
,
т.е.
- интеграл Римана и
и
Рассмотрим
.
Эти интегралы сходятся равномерно, т.к.
.
Интеграл Фурье
Или
и
непрерывны
на
П.2 Сходимость интеграла Фурье
Лемма 1.
⧠
∎
Лемма 2. Пусть f(x) – абсолютно интегрируема на (0, а) и в (.) х=0 удовлетворяет условию Гельдера (справа). Тогда
⧠
∎
Лемма
3. Пусть
-
абсолютно интегрируема на
,
в (.)
удовлетворяет
условию Гельдера. Тогда
⧠
∎
Теорема.
Пусть
абсолютно
интегрируема на
,
в (.)
удовлетворяет
условию Гельдера. Тогда
.
⧠
∎
П.3. Интеграл Фурье в комплексной форме
Вспомним
понятие интеграла в смысле главного
значения:
.
Если
существует несобственный интеграл, то
он совпадает с интегралом в смысле
главного значения, но из существования
интеграла в смысле главного значения
сходимость несобственного интеграла
не следует, например,
,
но интеграл
расходится.
Если
-
нечетная, то
.
Обозначим
-
нечетная функция. Тогда имеем
Получили интеграл Фурье для функции в комплексной форме. Сохраняется, если значения f(x) комплексные.
12. Преобразование Фурье: определение, свойства (ограниченность и непрерывность
образа и взаимная обратимость).
§5. Преобразования Фурье
Пусть
(или
)
Если
абсолютно интегрируема на
,
то
и
.
Обратное
преобразование Фурье:
Свойство
1. Если
- абсолютно интегрируема на
,
то
-
ограничена и непрерывна на
.
Так
как
и
- непрерывны (как коэффициенты Фурье)
то
-
непрерывна на
то есть непрерывны
и
.∎
Свойство
2.
Если
- абсолютно интегрируема и дифференцируема
на
,
тогда
∎
Теорема 1.
Пусть
- непрерывна, абсолютно интегрируема
на
,
кусочно-гладкая на
- абсолютно интегрируема на
.
Тогда
докажем,
что
:
Если
,
то
не
существует
противоречие.
,
так как
∎
Следствие
Теорема
2. Пусть
- непрерывны и абсолютно интегрируемы
на
,
тогда
- непрерывно дифференцируема на
и
∎
Сверткой
функций
называется
Свойство
3.
∎
Пример 1.
Пример
2.
Уравнение теплопроводности
.
.
13. Теоремы о преобразовании Фурье и дифференцировании. Преобразование Фурье
свертки.
Теорема 1.
Пусть - непрерывна, абсолютно интегрируема на , кусочно-гладкая на - абсолютно интегрируема на . Тогда
докажем, что :
Если , то не существует противоречие.
, так как ∎
Следствие
Теорема 2. Пусть - непрерывны и абсолютно интегрируемы на , тогда - непрерывно дифференцируема на и
∎
Сверткой функций называется
Свойство 3.
∎
Пример 1.
Пример 2. Уравнение теплопроводности .
.
14. Системы множеств: определения кольца, минимального кольца. Теорема о сущест-
вовании и единственности минимального кольца. Определения алгебры, полуколь-
ца, сигма-кольца, дельта-кольца, сигма-алгебры, дельта-алгебры, борелевского
множества.