4.6. Конструирование кврегуляторов на основе метода варьирования свободных интегральных функционалов

При проектировании регуляторов состояния [2, 3, 8, 10, 11, 12] по ошибке в качестве критерия используют интегральные критерии качества вида:

 линейный интеграл;

 квадратичная интегральная оценка;

 интегральная оценка относительно абсолютной величины ошибки;

 интегральная оценка с учетом времени;

 обобщенный квадратичный интегральный критерий качества переходного процесса, предложенный в 1959 г. А.М. Летовым.

Среди перечисленных интегральных критериев наибольшее распространение получили квадратичные критерии качества. Это объясняется в первую очередь тем, что при отыскании оптимальных значений квадратичной функции ее первые производные представляются в виде линейных математических отношений относительно ошибки регулирования e (t). Однако, несмотря на более простой аналитический расчет, появляется трудность определения параметров . Кроме того, квадратичный критерий косвенно накладывает ограничения на управление и не обеспечивает переходный процесс с конечным временем, хотя и существенно уменьшает отклонения возмущенного движения от оптимального.

Варьирование свободных интегральных функционалов относительно изменения пределов интегрирования позволяет использовать в качестве интегральных критериев линейные интегралы от функций свободных составляющих или ошибок регулирования. При этом допускается любой характер переходного процесса, включая колебательный.

Метод варьирования свободных функционалов обладает еще и тем преимуществом, что допускает многоуровневый или, более правильно назвать, разветвленный синтез проектирования систем автоматического управления с высокими точностными характеристиками и оптимальным быстродействием. Вначале проектируется замкнутая система с заданными точностными характеристиками относительно статических ошибок: позиционной, скоростной и других. После этого используется метод варьирования свободных функционалов для придания замкнутой системе оптимальности по быстродействию. Первый этап можно выполнить на основе пропорциональноинтегральных регуляторов. Второй этап использует новый класс регуляторов, которые названы конечновременными регуляторами с оптимальным быстродействием или просто "КВрегуляторы". В то же время допускается одновременный синтез САУ по заданным точностным характеристикам и динамическим свойствам с конечным временем регулирования.

4.6.1. Конечновременные передаточные функции

В методе варьирования свободных функционалов вводится новый вид передаточных функций, которые, так же как и регуляторы, можно назвать конечновременными передаточными функциями. КВпередаточные функции обладают генераторными свойствами. Они генерируют управляющие воздействия и осуществляют их переключения в определенные моменты времени. Кроме того, КВпередаточные функции обладают свойством оптимальности по быстродействию при условии, что моменты переключения находятся методом варьирования свободных функционалов.

С этой целью обратимся к рисункам 4.1 и 4.2, на которых изображены во времени управляющие воздействия. Запишем временную функцию для управления, симметричного относительно оси времени (рис.4.1.):

.

Перейдем к операторной форме записи для выражения

и далее к передаточной функции

, (4.41)

где  коэффициент передачи, причем l >1;  моменты переключения.

Получили КВпередаточную функцию .

Для нулевых начальных условий коэффициент l определяется или задается согласно системе уравнений (4.40), где он имеет обозначение l=u. Тогда можно записать в более общем виде

(4.42)

В качестве можно брать любой корень, так как все уравнения системы (4.40) равны между собой.

Если проектируется КВрегулятор с учетом ненулевых начальных условий, то согласно системе уравнений (4.38), передаточная функция для объекта второго порядка будет равна

.

То есть к функции прибавляются начальные условия, поделенные на номинальное значение управляемой переменной.

Вывод КВпередаточной функции для симметричного управления относительно номинальнозаданного производится аналогичным способом. К выражению (4.20) применяют преобразование Лапласа:

,

и переходят к передаточной функции

(4.43)

Свободный член здесь равен 1, поэтому полученная отличается от передаточной функции (4.41). Кроме этого, она отличается по величине и коэффициенту l. В выражении (4.41) l > 1, тогда как в (4.43) , если источник энергии рассматривать как однополюсный (рис.4.2).