Доверительные интервалы для параметров нормального распределения

Пусть выборка производится из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение. Укажем доверительные интервалы

• для математического ожидания при известной дисперсии

• для математического ожидания при неизвестной дисперсии

• для среднеквадратического отклонения нормального распределения

Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии

Пусть , причем известно и задана доверительная вероятность . Пусть - выборка, полученная в результате проведения n независимых наблюдений за СВ Х. Значение СВ Х в i-том опыте будем представлять как Х_i (i=1, 2 , …, n). Эти случайные величины независимы, закон распределения каждой их них совпадает с законом распределения Х, т.е. . Следовательно,

.

Доверительный интервал

(16)

покрывает параметр при известном с доверительной вероятностью , где t определяется из уравнения

Пример 7. Найти доверительные интервалы надежности и для нормальной случайной величины Х с функцией распределения N (0, 1)

Решение. В первом случае . Из равенства Ф (х) = 0,475 по таблице определяем х = 1,96, т.е. при уровне значимости α = 0,05 имеем

Х (- 1,96; 1,96).

Во втором случае из аналогичного равенства Ф (х) = 0,495 получаем х = 2,58, т.е. при уровне значимости α = 0,01 имеем Х (- 2,58; 2,58).

Пример 8. При измерении нормальной СВ со стандартным отклонением 5 и неизвестным математическим ожиданием m получена следующая выборка

6, 15, 10, 19, 6, 15, 14, 8, 12, 3

Найти интервал, содержащий параметр m с доверительной вероятностью

Решение. По условию задачи . Точечная оценка математического ожидания равна

Решим уравнение . По таблице находим х=2. Подставляя в формулу (16), получаем

или . Погрешность оценки составляет

Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии

Пусть , причем неизвестно и задана доверительная вероятность .

Доверительный интервал

(17)

покрывает параметр при неизвестном с доверительной вероятностью , где - квантиль уровня , определяемый по таблице квантилей распределения Стьюдента, s – исправленное среднеквадратическое отклонение

Пример 9. При измерении нормальной СВ получена следующая выборка

-25, 34, -20, 10, 21

Найти интервал, содержащий параметр m с доверительной вероятностью , а также погрешность оценки, соответствующей этой вероятности

Решение. Точечная оценка математического ожидания равна

Находим исправленное среднеквадратическое отклонение

По таблице для с 4 степенями свободы находим - квантиль уровня . А именно, . Следовательно, . Доверительный интервал в этом случае таков: (-27.9, 35.9)

Доверительные интервалы для среднеквадратического отклонения нормального распределения

Пусть , причем неизвестно и задана доверительная вероятность .

Если известно, то доверительный интервал для среднеквадратического отклонения нормального распределения имеет вид:

(18)

где d – среднеквадратическое отклонение, - квантили -распределения с n степенями свободы, определяемые по таблице квантилей распределения

Если неизвестно, то доверительный интервал для среднеквадратического отклонения нормального распределения имеет вид:

(19)

где s – исправленное среднеквадратическое отклонение, - квантили -распределения с (n-1) степенями свободы, определяемые по таблице квантилей распределения