Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

Нормальное распределение является одним из самых распространенных в применениях математической статистики. Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют следующие характеристики.

Асимметрия эмпирического распределения определяется следующим равенством:

(13)

Эксцесс эмпирического распределения определяется следующим равенством:

(14)

В формулы (13) и (14) входят центральные эмпирические моменты, определяемые формулами (11), а также выборочное среднеквадратическое отклонение (9). Асимметрия и эксцесс служат для сравнения полигона эмпирического распределения с нормальным распределением: знак а_s указывает на расположение длинной части ломаной относительно математического ожидания (справа при а_s > 0 и слева при а_s < 0): e_k характеризует «крутизну» ломаной (при e_k > 0 сравниваемая кривая более высокая и острая, при e_k < 0 она более низкая и плоская).

Пример 6. Найти асимметрию и эксцесс эмпирического распределения:

варианта	1	2	3	4	5	6	10
частота	5	10	15	35	16	15	4

Решение. Найдем сначала и по формулам ( 6) — (9):

Далее, используя формулы (11), определяем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:

m₃ = (5 ^. (- 3,2)³ + 10 ^. (-2,2)³ + 15 ^. (- 1,2)³ + 35 ^. (- 0,2)³ + 16^. 0,8³ +

+15 ^. 1,8³ + 4 ^. 5,8³) / 100 =579,6/100 = 5,796

m₄ = (5 ^. (- 3,2)⁴ + 10 ^. (-2,2)⁴ + 15 ^. (- 1,2)⁴ + 35 ^. (- 0,2)⁴ + 16^. 0,8⁴ +

+15 ^. 1,8⁴ + 4 ^. 5,8⁴) / 100 =5480,32/100 = 54,8032.

Затем по формулам (13) и (14) находим искомые величины:

а_s = 5,796/1,887³ = 0,863 e_k = 54,8032/1,887⁴ =4,324.

Интервальные оценки

Все оценки, приведенные ранее, определяются одним числом, т.е. являются точечными. Точечные оценки хороши при первичной обработке результатов наблюдений. При малых объемах выборки точечная оценка может приводить к большим ошибкам и значительно отличаться от оцениваемого параметра. Более широкое применение получил метод доверительных интервалов, разработанный американским статистиком Ю. Нейманом. Оценка неизвестного параметра называется интервальной, если она определяется двумя числами . Обычно выбирают симметричный интервал

Определение 2. Доверительным интервалом для параметра θ с надежностью оценки называется числовой промежуток (θ* - δ, θ* + δ), содержащий истинное значение данного параметра с вероятностью, равной р:

Р (θ* - δ < θ < θ* + δ) = , (15)

где θ* - оценка неизвестного параметра θ (например, точечная оценка), δ > θ - некоторое число.

Обычно надежность оценки или доверительная вероятность задается числом, близким к единице. Выбор этого числа зависит от конкретно решаемой задачи. Иными словами, доверительный интервал покрывает неизвестный параметр с заданной доверительной вероятностью. Число называется уровнем значимости. Общая схема построения доверительных интервалов сводится к следующему.

1. Рассматриваются теоретические выборки случайных величин, с распределениями которых связан параметр θ.

2. Подбирается случайная величина Y с известным распределением, значения которой определяются выборками и параметром θ: Y = Y (θ).

3. По известному распределению Y подбираются числа Y₁ и Y₂ такие, чтобы выполнялось равенство Р (Y₁ < Y (θ) < Y₂) = .

4. По значениям Y₁ и Y₂ определяется число δ > 0 при известном значении θ*. Таким образом, условие (15) будет выполнено и доверительный интервал построен.