Билет – 22 «центр тяжести. Общие формулы для определения центра тяжести однородных тел».

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ – неизменно связанная с данным телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, действующих на частицы данного тела, при любом положении тела в пространстве.

ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ:

1. ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ – Рассмотрим дугу радиуса R с центральным углом АОВ = 2α. В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси О_Х (рис.109).

Найдем координату Х_С по формулам:

(1)

Для этого выделим на дуге элемент ММ’ длиной d = R dϕ, положение которого определяется углом ϕ. Координата х элемента ММ' будет х = R cosϕ. Подставляя эти значения х и d в первую из формулы (1) и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

(2)

Где L – длина дуги , равная R*2α. Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

Х_С = (Rsinα)/α (3)

Где угол α измеряется в радианах.

2. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА – Разобьём площадь треугольника ABD (рис.110)прямыми, параллельными стороне AD, на n узких полосок; центры тяжести этих полосок будут лежать на медиане ВЕ треугольника. Следовательно, и центр тяжести всего треугольника лежит на этой медиане. Аналогичный результат получается для двух других медиан. Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан. При этом, как известно,

СЕ = ВЕ/3. (4)

3. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ПЛОЩАДИ КРУГОВОГО СЕКТОРА – Рассмотрим круговой сектор OAВ радиуса R с центральным углом 2α (РИС.111). Разобьём мысленно площадь сектора ОАВ радиусами, проведенными из центра О, на n секторов. В пределе, при неограниченном увеличении числа n, эти секторы можно рассматривать как плоские треугольники, центры тяжести которых лежат на дуге DE радиуса 2R/3. Следовательно, центр тяжести секторов ОАВ совпадает с центром тяжести дуги DE, положение которого найдется по формуле (3). Окончательно получим, что центр тяжести площади кругового сектора лежит на его оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

(5)

4. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ОБЪЁМА ПИРАМИДЫ ( ИЛИ КОНУСА) – Этот центр С лежит на прямой С₁Е (рис.112), где Е – вершина, а С₁ – центр тяжести площади основания пирамиды; при этом:

СС₁ = ЕС₁/4 (6)

Результат справедлив для любой многоугольной пирамиды и для конуса.

5. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ОБЪЁМА ПОЛУШАРА – Этот центр С лежит на оси О_Х (оси симметрии, рис.113), а его координата

Х_С = ОС =3R/8 (7)

Где R – радиус полушара.