- •Приближенные числа
- •Правила вычислений с приближенными числами.
- •Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Отделение корней и уточнение приближенных корней. Графическое решение уравнений.
- •Метод половинного деления (метод «вилки»).
- •Метод хорд.
- •Метод Ньютона (метод касательных).
- •Метод итерации. Приведение уравнений к виду, удобному для итерации.
- •Приближенное решение систем линейных уравнений. Метод итераций.
- •Приближенное решение систем нелинейных уравнений. Метод итерации.
- •Постановка задачи интерполирования функций. Общее решение задачи интерполирования функции полиномом.
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Интерполирование сплайнами
- •14 Аппроксимирование функций (15 не нашли)
- •Аппроксимирование функций. Метод ортогональных функций.
- •Квадратурная формула Ньютона-Котеса
- •Квадратурная формула Гаусса
- •Численные метода решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Метод Эйлера-Коши
- •Метод Рунге-Кутта
- •Редукция к задаче Коши двухточечной краевой задачи для линейного уравнения второго порядка.
- •Метод коллокации.
- •23.Аппроксимация производных конечно-разностными соотношениями.
- •Метод конечных разностей численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •Принципы построения сеток на плоскости и в пространстве.
- •26. Построение разностных схем для уравнений параболического типа.
- •27. Экстремумы функций. Классификация методов безусловной оптимизации.
- •28. Общая характеристика методов оптимизации нулевого порядка.
- •Метод прямого поиска (метод Хука-Дживса).
- •Метод деформируемого многогранника (метод Нелдера-Мида).
- •Метод вращающихся координат (метод Розенброка).
- •Метод параллельных касательных (метод Пауэлла).
- •Общая характеристика методов оптимизации первого порядка.
- •34.Метод наискорейшего спуска
- •35. Общая характеристика методов оптимизации второго порядка. Метод Ньютона.
- •36. Метод Ньютона с регулировкой шага (метод с переменной метрикой)
- •37. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)
- •38. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло
- •39. Структура искусственной нейронной сети (инс)
- •40. Компьютерная модель нейрона (нейроэлемента, нэ)
- •41. Функции активации нейроэлементов
- •45.Методы обучения элементарного перцептрона.
- •46.Многослойный перцептрон.
- •47. Понятие обучающей выборки.
14 Аппроксимирование функций (15 не нашли)
Интерполяционный полином не всегда удобен для приближения функций.
Если таблица значений содержит результаты какого-то эксперимента, полученные с погрешностью, то не целесообразно проводить кривую точно через все узлы, как при интерполяции. На практике часто используют другой способ приближенного представления (аппроксимации) функций, заданных таблицей, который называется методом наименьших квадратов.
Пусть функция y = f(x) задана таблицей приближенных значений yi = f(xi), i = 0, 1,2, …, n.
Согласно методу наименьших квадратов за меру отклонения полинома (3.12)
от данной функции f(x) на множестве точек принимают величину
(3.13)
равную сумме квадратов отклонений полинома Qm(x) от функции f(x) на заданной системе точек. Очевидно, что Sm - это функция коэффициентов a0, a1, a2, …, am .
Эти коэффициенты нужно подобрать так, чтобы величина Sm была наименьшей. Полученный полином называется аппроксимирующим для данной функции, а процесс построения этого полинома - точечной квадратичной аппроксимацией функции.
Для нахождения коэффициентов a0, a1, a2, …, am найдем частные производные по всем переменным a0, a1, a2, …, am от величины
(3.14)
где yi = f(xi). Приравнивая эти частные производные нулю, получим систему (m + 1) уравнений с (m + 1) неизвестными:
(3.15)
В общем случае, когда аппроксимирующий полином для данной функции является обобщенным:
где -- функции, находим частные производные от величины.
Согласно (3.15), будем иметь систему уравнений, позволяющую определить коэффициенты
(3.16)
Многочлен Qm(x) называют многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции f(x) на [a, b]. Задача нахождения такого многочлена упрощается, если система {ji(x)} является ортогональной на [a, b].
Аппроксимирование функций. Метод ортогональных функций.
Функции и называются ортогональными на множестве точек , если скалярное произведение этих функций равно нулю, т. е. = 0 (или в другой записи = 0).
Система функций {ji(x)} называется ортогональной на множестве точек , если функции этой системы попарно ортогональны на этом множестве, т. е. =0, = 0) при .
Если система {ji(x)} является ортогональной, то коэффициенты обобщенного многочлена Qm(x)( ) определяются по формулам
(3.17)
Если функция аппроксимируется обобщенным полиномом на отрезке [a, b], то коэффициенты можно определить по формулам
. (3.18)
Коэффициенты называются коэффициентами Фурье полинома относительно ортогональной системы функций .
Пусть на отрезке [-l, l] задана система ортогональных функций
(3.19)
Для на [-l, l] тригонометрическим многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения является тригонометрический многочлен
(3.20)
где коэффициенты Фурье определяются формулами (3.18) и имеют вид
k = 1, 2,… (3.21)
В качестве еще одной ортогональной системы можно рассмотреть полиномы Лежандра:
n = 0, 1, 2,…). (3.22)
Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему на отрезке [-1, 1], т. е.
= 0 при .
Обобщенный многочлен степени n относительно ортогональной системы алгебраических полиномов Лежандра имеет вид
(3.23)
(3.24)
Замечание. Если функция определена на [a, b], то с помощью линейного преобразования (3.24)
можно получить полином Лежандра, ортогональный на отрезке [a, b]:
(3.25)
Важно:аппроксимирующая функция (в отличие от
интерполирующей) не обязана принимать в узлах интерполяции те же значения, что и исходная функция.
Пример 1.
Найти алгебраический многочлен степени n = 2 наилучшего среднеквадратичного приближения для функции
на отрезке [0,2].
Запишем полином в виде
где -полиномы Лежандра (см. (3.25)).
Для перехода к отрезку [-1, 1] от [0,2] делаем замену переменных
Запишем новую функцию , определенную на отрезке [-1, 1]:
По формуле (3.24) найдем коэффициенты Фурье ci:
Таким образом, искомый полином запишется в виде
Пример 2.
Имеется таблица значений функции:
x |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
y |
15,3 |
20,5 |
27,4 |
36,6 |
49,1 |
65,6 |
87,8 |
117,6 |
Представить зависимость величин x и y в виде функции .
Прологарифмируемфункцию и получим
Если ввести обозначения то последнее выражение можно переписать в виде u = bx + c.
При этом исходная таблица значений примет следующий вид:
x |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
u =ln y(x) |
2,73 |
3,02 |
3,31 |
3,60 |
3,89 |
4,18 |
4,48 |
4,77 |
Вычислим коэффициенты a и b с использованием метода наименьших квадратов.
Сумма квадратов отклонений искомой функции от значений yi в каждой точке xi должна быть минимальна, т. е.
®min
Имеем
Перепишем в развернутом виде:
Послеподстановкичисленныхзначенийполучаем
Приведяподобныечлены, получаемсистему
Отсюда находим
b = 0,029; c = 2,436; a = e2,436 = 11,472
Окончательно, искомая функция имеет вид