9. Комплексные числа. Геометрическое изображение. Равенство комплексных чисел. Комплексно-сопряженные числа.

Ко́мпле́ксные^[1] чи́сла (устар. Мнимые числа^[2]), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается  . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма  , где   и  — вещественные числа,   — мнимая единица^[3].

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени   с комплексными коэффициентами имеет ровно   комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Определения

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен   имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел  , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена  .

Стандартная модель

Комплексное число   можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел  . Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

• 

• 

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида  , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой   единица —   а мнимая единица —   На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен  , то есть 

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

мнимой единице —

Замечания

Ошибочно определение числа   как единственного числа, удовлетворяющего уравнению  , так как число   также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение  , ранее часто использовавшееся вместо  , не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до конца XIX века запись вроде   считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как  . Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

в то время как правильная запись приводит к иному ответу:

Действия над комплексными числами

• Сравнение

 означает, что   и   (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• Сложение

• Вычитание

• Умножение

• Деление

Геометрич. изображение

Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на фиг. 2, где точка А изображает число 4, а точка В – число – 5. Эти же числа можно изображать также отрезками ОА, ОВ, учитывая не только их длину, но и направление.

Каждая точка М «числовой прямой» изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОM соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим). Таким образом, на числовой прямой не остается места для комплексных чисел. Но комплексные числа можно изобразить на «числовой плоскости». Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (фиг. 3). Комплексное число a +bi мы изображаем точкой М, у которой абсцисса х (на фиг. 3 х = ОР = QM) равна абсциссе а комплексного числа ордината у (ОQ = РМ) равна ординате b комплексного числа. Примеры. На фиг. 4 точка A с абсциссой х = 3 и ординатой у = 5 изображает комплексное число 3 + 5i . Точка В изображает комплексное число – 2 + 6i; точка C комплексное число – 6 – 2i; точка D – комплексное число 2 – 6i. Д ействительные числа (в комплексной форме они имеют вид a + 0i) изображают точками оси X, а чисто мнимый (вида 0 + bi) – точками оси Y. Примеры. Точка К на фиг. 4 изображает действительное число 6 (или, что то же, комплексное число 6 + 0i), точка L — чисто мнимое число 3i (т. е. 0 + 3i); точка N - чисто мнимое число – 4i (т. е. 0 – 4i). Начало координат изображает число 0 (т. е. 0 + 0i ). Сопряженные комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки С и С' на фиг. 4 изображают сопряженные числа – 6 – 2i и – 6 + 2i. Комплексные числа можно изображать также Отрезками («векторами»), начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число – 2 + 6i можно изобразить не только точкой В (фиг. 4), но также вектором ОB; комплексное число - 6 – 2i изображается вектором ОС и т. д. Замечание. Давая какому-либо отрезку наименование «вектор», мы подчеркиваем, что существенное значение имеет не только длина, но и направление отрезка. Два вектора считаются одинаковыми (равными) только в том случае, когда они имеют одинаковую длину и одно и то же направление.

Сопряжённые числа

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число  , то число   называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к   (обозначается также  ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

•  (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

• 

• 

• 

• 

Обобщение:  , где   — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.

• 

• 

Значимость сопряжения объясняется тем, что оно является образующей группы Галуа  .