19.Формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано и в форме Лагранжа.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и n раз дифференцируема в точке x0. Многочлен Pn(x) = n ∑ k = 0

f (k) (x0)k! (x − x0)k называется многочленом Тейлора n–го порядка функции f(x) с центром в точке x0 . Если функция f(x) является многочленом степени k, то при всех n ≥ k справедливо равенство f(x) = Pn(x) Если функция f(x) не является многочленом , то при всех n имеем f(x) ≠ Pn(x) и тогда f(x) = Pn(x) + Rn + 1(x). (1) Это равенство называется формулой Тейлора. В ней Rn + 1(x) — некоторая функция, называемая остаточным членом формулы Тейлора Если x0 = 0, то формулу Тейлора называют иногда формулой Маклорена. В этой связи рекомендуем прочитать раздел “История”. Полезную информацию об остаточном члене формулы Тейлора Rn + 1(x) дают следующие две теоремы. Они уточняют формулу (1).

Теорема 1 (Пеано). Пусть функция f(x) имеет в точке x0 производные до n–го порядка включительно. Тогда Rn + 1(x) = o( (x − x0)n ) , т.е. существует окрестность точки х0, в которой справедлива формула f(x) = f(x0) + f '(x0)1! (x − x0) + … + f (n) (x0)n! (x − x0)n + o( (x − x0)n ). (2) Доказательство получается (n − 1)–кратным применением правила Лопиталя для вычисления предела lim x → x0 Rn + 1(x) (x − x0)n Формула (2) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано . Теорема 2. Пусть функция f(x) в некоторой окрестности точки x0 имеет производные до n + 1–го порядка включительно. Тогда для любой точки x из этой окрестности найдется точка ξ , лежащая между x и x0, такая, что Rn + 1(x) = f (n + 1) (ξ)n! (x − x0)n + 1 .

Иными словами, f(x) = f(x0) + f '(x0)1! (x − x0) + f ''(x0)2! (x − x0)2 + … + f (n) (x0)n! (x − x0)n +…+ f (n + 1) (ξ)n! (x − x0)n + 1 . (3)

Формула (3) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Положение точки ξ между точками x и x0 зависит от x. Конкретное значение ξ не играет никакой роли в применениях формулы Тейлора. Формулы Тейлора для элементарных функций ex , sin x, cos x, ln(1 + x), (1 + x)α 1° ex = 1 + x + x22!+ x33!+ … + xnn!+ Rn + 1(x) , где Rn + 1(x) = eξ(n + 1)! xn + 1 (форма Лагранжа) или Rn + 1(x) = o(xn ) (форма Пеано).

2° sin x = x − x33!+ x55!− … + ( − 1)n − 1 x2n − 1(2n − 1)!+ R2n + 1(x),

где R2n + 1(x) = sin(ξ + πn + π/2)(2n + 1)! x2n + 1 (форма Лагранжа) или R2n + 1(x) = o(x2n ) (форма Пеано). 3° cos x = 1 − x22!+ x44!− … + ( − 1)n x2n(2n)!+ R2n + 2(x), где R2n + 2(x) = cos(ξ + π(n + 1) )(2n + 2)! x2n + 2 (форма Лагранжа) или R2n + 2(x) = o(x2n + 1 ) (форма Пеано). 4° ln(1 + x) = x − x22+ x33− … + ( − 1)n − 1 xnn+ Rn + 1(x), где Rn + 1(x) = ( − 1)n(1 + ξ)n + 1 (n + 1) xn + 1 (форма Лагранжа) или Rn + 1(x) = o(xn ) (форма Пеано). 5° (1 + x)α = 1 + α · x + α · (α − 1)2!x2 + … + α · (α − 1) · … · (α − n + 1)n!xn + Rn + 1(x),

где Rn + 1(x) = α · (α − 1) · … · (α − n)(n + 1)!(1 + ξ)

20.Разложение по формуле Макларена основных элементарных функций.

1. Рассмотрим функцию f(x)=e^x. Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:

Таким образом, получаем

Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение e^x.

Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:

 причем остаток 

Отметим, что для любого x  R остаточный член 

Действительно, так как ξ  (0; x), то величина e^ξ ограничена при фиксированном x. При x> 0 e^ξ < e^x. Докажем, что при фиксированном x 

Имеем

Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x|<N.

Обозначим  Заметив, что 0<q<1, при n>N можем написать

Но  , не зависящая от n, а   так как q<1. Поэтому   Следовательно, 

Таким образом, при любом x, взяв достаточное число слагаемых, мы можем вычислить e^x с любой степенью точности.

2. Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.

Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.

Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:

Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим

.

Так как  , то аналогично разложению e^x можно показать, что   для всех x.

Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь:

Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:

Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.

3. f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:

Здесь также   для всех x. 

Докажите формулу самостоятельно.

4. f(x)=ln (1+x). Заметим, что область определения этой функции D(y)=(–1; +∞).

Найдем формулу МакЛорена для данной функции.

Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.

Можно доказать, что если x  (–1;1],то  , т.е. выведенная формула справедлива при x  ( –1;1].

5. f(x) = (1+x)^m, где m  R, m≠0.

При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:

И следовательно,

 Можно показать, что при |x|<1