15.Теорема Ролле.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x = a и х = b обращается в нуль [ f(a) = f(b) = 0], то существует внутри отрезка [a, b] по крайней мере одна точка x = c, a < c < b, в которой производная f^/(x) обращается в нуль, т.е. f^/(c) = 0. (Число c называется корнем функции φ(x), если φ(с) = 0.

Доказательство:

Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она имеет на этом отрезке наибольшее значение M и наименьшее значение m.

Если M = m, то функция f(x) постоянна, т.е. при всех значениях х имеет постоянное значение f(x) = 0. Но тогда на любой точке отрезка будет f^/(x) = 0, и теорема доказана.

Предположим, что M # m. Тогда по крайне мере одно из этих чисел не равно нулю.

Предположим для определенности, что M>0 и что функция принимает свое наибольшее значение при х = с, т.е. f(c) = M. При этом заметим, что с не равно ни а, ни b, так как по условию f(a) = 0, f(b) = 0. Так как f(c) – наибольшее значение функции, то f(c + ∆x) – f(c) ≤ 0 как при ∆x > 0, так и при ∆х < 0.

Отсюда следует что:

f(c + ∆x) – f(c) ≤ 0, при ∆х > 0.

∆x

f(c + ∆x) – f(c) ≥ 0, при ∆х < 0.

∆x

Так как по условию теоремы производная при x = c, существует, то, переходя к пределу при ∆х → 0, получим

lim f(c + ∆x) – f(c) = f^/(c) ≥ 0, при ∆х < 0.

x→0 ∆x

lim f(c + ∆x) – f(c) = f^/(c) ≤ 0, при ∆х > 0.

x→0 ∆x

Но соотношения f^/(c) ≤ 0 и f^/(c) ≥ 0 совместимы лишь в том случае, если

f^/(c) = 0. Следовательно внутри отрезка [a, b] имеется точка c, в которой производная f^/(x) равна нулю.

Теорема о корнях производной имеет простое геометрическое истолкование: если непрерывна кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ox в точка с абсциссами a и b, то на этой кривой найдется по крайне мере одна точка с абсциссой с, a < c < b, в которой касательная параллельна оси Ох.

16.Теорема Лагранжа.

 Если функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство

f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим уравнение  хорды, проходящей через точки (a, f(a)), (b, f(b))

y = f(a) + Q·(x - a),

где   есть угловой коэффициент хорды. Рассмотрим разность ординат функции и хорды

F(x) = f(x) − f(a) − Q·(x − a).

Очевидно, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому на интервале (a, b) найдётся такая точка с, для которой F ' (c) = 0. То есть F ' (c) = f ' (c) − Q = 0. Откуда следует

.

И, наконец, f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

Или

Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то   такое, что f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a).

17.Теорема Каши.

18.Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенности.