2. Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Момент считается положительным, если с положительного конца оси поворот, который сила стремится совершить, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным – если по ходу часовой стрелки.

.

Чтобы найти момент силы относительно оси, нужно:

1. Провести плоскость перпендикулярную оси z.

2. Спроецировать силу на эту плоскость и вычислить величину проекции .

3. Провести плечо h из точки пересечения оси с плоскостью на линию действия проекции силы и вычислить его длину.

4. Найти произведение этого плеча и проекции силы с соответствующим знаком.

Свойства момента силы относительно оси

Момент силы относительно оси равен нулю, если:

1. , т.е. сила параллельна оси.

2. h=0 , т.е. линия действия силы пересекает ось.

Моменты силы относительно координатных осей можно получить, расписав векторное произведение

    Величины, стоящие в скобках, представляют собой моменты силы  F относительно соответствующих осей.

Теорема о плоско - параллельном переносе сил.

Действие силы на твердое тело не изменяется, если эту силу перенести параллельно самой себе в любую другую точку тела добавляя, при этом пару сил, момент которой равен моменту переносимой силы относительно точки, в которую сила переносится.

Процесс замены силы F приложенной в точке А такой же силой приложенной в точке О и пары сил называется приведением силы F к данному центру О.

1.2 Постановка задачи.

Рис. 3.4.

Определение реакций опор составной конструкции.

Дано: = 9,0 кН; = 12,0 кН; = 26,0 кН м; = 4,0 кН/м.

1.3 Алгоритм решения задачи.

1) Определение реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции (рис.2.). Составим уравнение моментов сил относительно точки B.

Рис 2.

(1)

где кН.

После подстановки данных и вычислений уравнение (1) получает вид:

кН (1’)

Второе уравнение с неизвестными и получим, рассмотрев систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, расположенной левее шарнира С (рис. 3):

Рис 3.

.

Отсюда находим, что

кН.

Подставив найденное значение в уравнение (1’) найдем значение :

кН.

Модуль реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С равен:

кН.

2) Расчетная схема при соединении частей конструкции в точке С скользящей заделкой, показанной на

рис. 4.

Системы сил, показанные на рис. 2 и 4, ничем друг от друга не отличаются. Поэтому уравнение (1’) остается в силе. Для получения второго уравнения рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, располоденной левее скользящей заделки С (рис. 5).

рис. 5

Составим уравнение равновесия:

откуда

и из уравнения (1’) находим:

Следовательно, модуль реакции при скользящей заделке в шарнире С равен:

кН.

Итак, при соединении в точке С скользящей заделкой модуль реакции опоры А меньше, чем при шарнирном соединении (≈ 13%). Найдем составляющие реакции опоры В и скользящей заделки.

Для левой от С части (рис. 5а)

,

откуда

кН.

Составляющие реакции опоры В и момент в скользящей заделке найдем из уравнений равновесия, составленных для правой от С части конструкции.

кН_*м

кН

; кН

2. Исследование кинематических характеристик механизма, совершающего плоскопараллельное движение.

   Кинематика- раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.

   Способы задания движения точки.

Задать движение точки - значит задать изменение ее положения по отношению к выбранной системе отсчета. Существует три основных систем отсчета: векторная, координатная, естественная. Соответственно возможны три способа задания движения точки.

Прежде чем заняться исследованием движения точки, определением характеристик этого движения, надо научиться определять положение точки в пространстве в нужный момент времени.

Векторный способ задания движения точки.

Пусть точка М движется по отношению к некоторой си­стеме отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из на­чала координат О в точку М.

При движении точки М вектор будет с течением времени изме­няться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргу­мента :

Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.

Координатный способ задания движе­ния точки.

Этим способом положение точки, в какой либо системе координат определяется её координатами . При движении точки эти координаты изменяются. Поэтому, чтобы определить положение точки в нужный момент времени, должны быть заданы координаты как функции

времени :

Эти функции называются уравнениями движения точки.

Уравнения движения позволяют определить не только положение точки в любой момент времени, но и все характеристики движения, в том числе и траекторию движения.

Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр .

Нетрудно установить зависимость между векторным и координатным способами задания движения.

Разложим вектор на составляющие по осям координат:

где - проекции вектора на оси; – единичные векторы направленные по осям, орты осей.

Так как начало вектора находится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M. Поэтому

Естественный способ задания движе­ния точки

Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех слу­чаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ явля­ется траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О', которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицатель­ное направления отсчета (как на координат­ной оси).

Тогда положение точки М на тра­ектории будет однозначно определяться криволинейной коорди­натой s, которая равна расстоянию от точки О' до точки М, изме­ренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M₁, М₂,... . следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться.

Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость

.

Уравнение выражает закон движения точки М вдоль тра­ектории.

Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения.

Из определения скорости точки

где

- единичный вектор касательной, тогда

Алгебраическая скорость – это проекция вектора скорости на касательную, равная производной от дуговой координаты по времени. Если производная положительна, то точка движется в положительном направлении отсчета дуговой координаты.

Из определения ускорения

поскольку τ - переменный по направлению вектор, то:

Производная

определяется только свойствами траектории в окрестности данной точки, при этом

n - единичный вектор главной нормали,

ρ   - радиус кривизны траектории в данной точке.

Таким образом,

т.е. вектор ускорения раскладывается на две составляющие - касательное и нормальное ускорения:

Здесь:

- алгебраическое значение касательного ускорения (проекция вектора ускорения на касательную) характеризует изменение скорости по величине;

– нормальное ускорение (проекция вектора ускорения на главную нормаль) характеризует изменение скорости по направлению. Вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости и проекция ускорения на бинормаль равна нулю (a_b=0).

Поступательное движение тела.

Поступательным называют движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению .

Доказана теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Вывод: Поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки.

Вращательные движения тела вокруг неподвижной оси.

Вращательным движением вокруг неподвижной оси называют движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения. Указанная прямая называется осью вращения, при таком движении траектории движения точек такого тела есть окружность в центре по оси.

Угол, отсчитываемый от неподвижной полуплоскости против движения часовой стрелки, измеряемый в радианах, называется углом поворота тела - . Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси выражает зависимость угла поворота от времени:

Основными характеристиками вращательного движения тела являются угловая скорость - и угловое ускорение - .

Размерность [ ] = [рад/с] =[ ] .

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота с течением времени, называется угловой скоростью тела - Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , численная величина которого равна и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки.

Такой вектор сразу определяет и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси. В технике угловую скорость часто выражают не в радианах в секунду, а частотой вращения n, выраженной числом оборотов в минуту. Зависимость между n и с учетом того, что каждый оборот содержит рад, имеет вид

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора , направленного вдоль оси вращения. При этом направление совпадает с направлением , когда тело вращается ускоренно и противоположно при замедленном вращении (рис. а, б).

[рад/ ]

Величины n являются угловыми характеристиками, применимы-ми для всего тела в целом. Их нельзя относить к отдельной точке вращающегося тела или к другой какой-либо точке. Движение точки характеризуется линейными величинами: скоростью и ускорением .

или

При равнопеременном вращении постоянно угловое ускорение:

При и получим

Скорости и ускорения точек тела при вращательном движении.

Пусть М – произвольная точка тела.

ОМ=R – расстояние от этой точки до оси вращения.

- скорость точки.

перпендикулярен ОМ и направлен в соответствии с .

перпендикулярен .

r – радиус вектора точки М.

.

перпендикулярно и перпендикулярно .

; перпендикулярно .

вектор вращательного ускорения точки при ускоренном вращении тела он направлен также как и вектор скорости; при замедленном вращении противоположен вектору скорости.

- величина вращательного ускорения.

- вектор центростремительного ускорения точки, всегда направлен от точки М к оси вращения.

- величина центростремительного ускорения.

Полное ускорение.

Таким образом, ускорение точек тела при вращательном ускорении, так же как и их скорости пропорциональны расстоянию от этих точек до оси вращения.

- этот угол не зависит от положения точек.