- •Несобственные интегралы.
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами. (Несобственные интегралы 1-го рода).
- •Геометрический смысл несобственного интеграла.
- •Признаки сходимости.
- •Абсолютно сходящиеся интегралы 1-го рода.
- •Общий признак сходимости несобственного интеграла 1-го рода.
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).
- •Признаки сходимости интегралов 2-го рода.
- •Общий признак сходимости несобственного интеграла 2-го рода.
- •Абсолютно сходящиеся интегралы 2-го рода.
- •Признак Абеля-Дирихле.
- •Основная формула интегрального исчисления для несобственных интегралов.
- •Интегрирование по частям несобственных интегралов.
- •Замена переменной интегрирования в несобственных интегралах.
Признаки сходимости интегралов 2-го рода.
Для определенности будем рассматривать несобственные интегралы 2-го рода вида = . Установленные ниже утверждения легко переносятся на несобственные интегралы 2-го рода вида = и = + .
Теорема 1. Пусть с – любое число, удовлетворяющее условию a<c<b. Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Возьмем произвольное число , удовлетворяющее условию с<<b. Имеем = + (4)
1) Пусть сходится существует конечный предел . Но тогда из (4) , что существует конечный предел сходится.
2) Пусть сходится существует конечный предел . Но тогда из (4) , что существует конечный предел сходится.
В случаях 1) и 2) будем имеем: = + .
3) Пусть расходится. Покажем, что и расходится.
Допустим, что сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и . Получили противоречие.
4) Пусть расходится. Покажем, что и расходится.
Допустим, что сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и . Получили противоречие. Ч.т.д.
Теорема 2. Если f(x)0 хотя бы для x[с;b) (ас<b), то для сходимости интеграла (а значит и интеграла ) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, что К, для любого (с;b).
Доказательство. Интеграл =(), т.е. представляет собой функцию от , возрастающую с увеличением . Для существованию конечного предела у функции () при b-0 необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, т.е. чтобы существовало число K>0 такое, чтобы ()= К, для любого (с;b). Ч.т.д.
Теорема 3 (1-й признак сравнения несобственных интегралов).
Пусть хотя бы для х[с;b) (ас<b) функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию 0≤f(x)≤g(x). Тогда:
1) из сходимости интеграла (5) следует сходимость интеграла (6)
2) из расходимости интеграла следует сходимость интеграла .
Доказательство. Возьмем произвольное число , такое, что с<<b
Тогда 0 (7).
1) Пусть сходится сходится существует число K>0 такое, что К (с;b). Но тогда из (7) следует, что К (с;b). по теореме 2: - сходится - сходится.
2) Пусть - расходится. Нужно доказать, что расходится и . Допустим противное, что сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и . Получили противоречие. Ч.т.д.
Теорема 4. (б.д.) (2-й признак сравнения). Пусть f(x)>0 и g(x)>0 хотя бы для х[с;b) (ас<b). Пусть существует конечный, отличный от нуля предел
l= (l0, l).
Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Для применения теорем 3 и 4 требуется знание некоторой «эталонной» функции g(x). Часто в этой роли выступает функция g(x)= (р>0, x[a,b), a<b).
Пример. Исследуем на сходимость интеграл .
1) Пусть р<1. Тогда
= = =
сходится при р<1.
2) Пусть р=1. Тогда = =ln(b-a)-ln(b-) =+
расходится при р=1.
3) Пусть р>1. Тогда
= = =+
расходится при р>1.
Пример. Исследовать на сходимость интеграл I= .
Подынтегральная функция разрывна в точке х=0.
< , здесь р= <1, следовательно сходится. Значит сходится и интеграл от меньшей функции, т.е. .
Пример. Исследовать на сходимость интеграл I= .
f(x)= определена в промежутке [0,1] всюду, за исключением точек х=0 и х=1. (эти точки – особые). Представим I в виде суммы двух интегралов:
I= + =I1+I2.
Рассмотрим I1= . У этого интеграла 1 особая точка х=0. Имеем
= = - f(x) неограниченная в правой полуокрестности точки х=0. Значит I1 – несобственный интеграл 2-го рода.
Т.к. f(x)= ln x при х+0, то в качестве функции g(x) возьмем g(x)=ln x. Тогда = = =1.
Следовательно, несобственные интегралы и в смысле сходимости ведут себя одинаково.
= = = =
= - = -0= .
Т.о. сходится. Значит и I1 сходится.
Рассмотрим I2= . У этого интеграла 1 особая точка х=1. Имеем
= = = = f(x) ограниченная в промежутке . Положим
Функция ограничена на существует. Следовательно, I2= сходится.
Т.к. несобственные интегралы I1 и I2 сходятся, то сходится и интеграл I= .