12.4 Динамика развития сетей связи Общее положение

Построение сети связи с учетом динамики се развития требует решения сложных технико-экономических задач в условиях, когда количество исходных данных очень велико, а достоверность части этих данных недостаточна. Часть решаемых задач относится по своему характеру к задачам синтеза сети для некоторого заданного отрезка времени (расчетного периода) и заключается в том, чтобы указать вариант или несколько вариантов будущей сети, удовлетворяющих прогнозируемым к этому времени требованиям с должной экономической эффективностью. Такие задачи решаются для нескольких заданных отрезков периода проектирования и позволяют установить требуемые структуру и другие характеристики сети для конечного и промежуточных состояний в соответствии с требованиями, которые должны возникнуть к этим моментам функционирования сети. Другая часть решаемых задач относится к задачам определения процесса развития сети во времени с учетом ее исходного состояния. Это необходимо для того, чтобы обеспечить оптимальный переход от существующей сети к сети в конце проектного периода через некоторые фиксированные промежуточные состояния. Теоретическая сложность решения всех задач обусловлена структурной сложностью сети и ее отдельных частей, большим количеством и разнообразием исходных данных, необходимостью их прогнозирования и другими факторами. Особая сложность задач характерна для исследования динамики развития сети с заданного исходного состояния. Путем анализа требований потребителей связи можно установить некоторые общие показатели системы потоков сообщений, качества передачи сообщений, надежности и достоверности. В процессе анализа применяют различные математические модели показателей сети, ее структуры и отдельных частей, упрощенные критерии для выбора отдельных решений и условия исключения избыточных элементов сети. Все это позволяет использовать при построении сети не только опыт и интуицию проектировщиков, но и результаты аналитических исследований, решения отдельных задач на ЭВМ, а также результаты статистического моделирования.

Функции развития.

На прогнозируемые величины, точнее, на процесс их изменения во времени воздействует большое количество различных факторов, влияние которых не остается неизменным. Вследствие этого точный прогноз невозможен. Практичным и не особенно трудоемким оказался следующий подход. Известные данные (подтвержденные статистическими данными за регуляр-ные периоды времени) позволяют определить вид математической функции прогнозируемой величины (рис.12.4.1).

Рис. 12.6 Представление известных данных процесса развития:

М-множество, для которого должно прогнозироваться развитие; t-периоды наблюдения и прогнозирования; •- статистические данные.

Если в интересующем нас периоде задаются одинаковые или, по крайней мере, близкие условия развития, то возможно прогнозирование состояний методом экстраполяции. То обстоятельство, что предыдущее развитие в достаточной мере может описываться определенной математической функцией, является в настоящее время существенным вспомогательным средством для прогнозирования процесса развития.

Для многих статистически группируемых состояний можно предположить, что процесс развития имеет экспоненциальный характер. Чтобы подтвердить это, необходимо доказать, что интенсивность возрастания параметра х в данном периоде остает­ся постоянной:

, (12.4.1)

где M_t — фактическое значение прогнозируемой величины в конце периода на­блюдения; M 1 — то же в начале периода наблюдения; t — продолжительность периода наблюдения.

Произведя преобразования в (12.4.1), получим

M_t=M₁ (1+x)^t. (12.4.2)

Если с достаточной точностью может подтверждаться постоянство х, то со­отношение (12.4.2) можно использовать для прогнозирования, при этом M_t соответствует прогнозируемым величинам, М₁ должно было быть последним статистически обследуемым состоянием и t соответствует периоду прогнозирования. Если статистически обработанные данные показывают, что скорость возра­стания непостоянна, то требуется другой подход.

Математические модели роста телефонной плотности

При построении сети электросвязи обычно считают, что одним из наиболее важных показателей развития сети является телефонная плотность (количество телефонов на 100 жителей). Как показывают проведенные исследования, объем информационных потоков возрастает пропорционально квадрату уровня национального дохода на душу населения. Следовательно, значение телефонной нагрузки, создаваемой общим информационным потоком страны, может быть выражено в следующем виде: , (12.4.3)

где с — национальный доход на душу населения; V — число жителей страны; k — коэффициент пропорциональности. Изменение (прирост) нагрузки в зависимости от роста национального дохода можно записать в виде ΔА=2k*c*N*Δc, а относительное изменение нагрузки равно:

ΔA/A=2k*c*N*Δc/A=2*Δc/c=2δ, (12.4.4)

где δ – относительный прирост национального дохода.   Из этого следует, что относительный прирост нагрузки общего информационного потока пропорционален удвоенному относительному приросту национального дохода δ. Пользуясь этой закономерностью, в соответствие с выражением(12.4.2), можно прогнозировать объем общего информационного потока и нагрузки, им создаваемой, на период t лет исходя из соотношения:

A_t=A₁ (1+ 2δ)^t , (12.4.5)

где A1 – значение нагрузки в начале срока прогнозирования; A_t - то же в конце срока прогнозирования;t – продолжительность периода прогнозирова-ния. Для выражения закономерностей изменения телефонной плотности, в зависи-мости от условий, используются различные математические модели. Для сравнительно короткого периода времени можно использовать линейную зависимость телефонной плотности от времени

σ_t = σ +k₁t, (12.4.6)

где σ_t — телефонная плотность через t лет; σ — начальная телефонная плотность;  k₁ — ежегодный прирост телефонной плотности. Если считать ежегодный относительный прирост a телефонной плотности постоянным и не превышающим определенных величин, то телефонная плотность будет увеличиваться по экспоненте с соотношением

      (12.4.7)

Зависимость не может быть использована в течение неограниченного периода времени, так как σ_t стремится к бесконечности. Однако во многих случаях, когда телефонная плотность мала, экспоненциальная зависимость является хорошей моделью для целей прогнозирования. Если считать, что существует некоторый предел σ_мах, к которому стремится телефонная плотность, то математической моделью такой зависимости, имеющей предел, может быть, например,    кривая    Гомпертца,  описываемая выражением:

(12.4.8) где k₂ и t₂ — постоянные величины. При малых значениях t соотношении это  близко к (12.4.7) , поэтому начальный рост телефонной плотности происходит по экспоненте. После достижения величиной t значения t₂, при котором плотность σ_t  =σ_мах /e, скорость роста уменьшается. При стремлении t к бесконечности кривая стремится к насыщению (σ_t  =σ_мах ).

Еще одной математической моделью, которая также стремится к насыщению, является логистическая кривая. При ее получении предполагается, что вероятность того, что житель, не являющийся абонентом, превратится в абонента в течение рассматриваемого года, пропорциональна числу имеющихся абонентов и числу жителей, еще не ставших абонентами. Логистическая кривая описывается соотношением:

. (12.4.9)

Для малых значений t она практически совпадает с экспонентой. После дости-жения t значения t2 скорость роста замедляется, и при t, стремящейся к беско-нечности, значение плотности стремится к своему значению насыщения

(σt = σmax). Телефонная плотность во многих странах с большой точностью подчиняется логистической кривой. Оптимальное развитие структуры сети

 Проблема построения структуры сети, с учетом развития, может быть искусственно разделена на две части:  а) синтез структуры сети на конечный период проектирования;

 б) оптимальное развитие сети от начального до конечного периода проектирования с указанием очередности введения отдельных элементов сети и изменения параметров сети по времени. Выбор способа и очередности развития сети определяется необходимостью наиболее эффективно обеспечить потребности пользователей сети. Рассмотрим пример развития структуры сети от начального до некоторого коне-чного момента ее развития. Структуру сети будем считать заданной графом G = {A, B), где А — множество пунктов (узлов сети), а В - множество ребер (линий связи сети). Исходными данными для решаемой задачи являются матрицы смежности R начального G 0 и конечного G графов, а также матрица тяготений (нагрузок) A =||A_ji ||, где A_ij — заданная нагрузка между соответствующими пунктами сети. Процесс развития сети будем считать происходящим по этапам t = 0, 1,…, t_max. На каждом из этапов t сеть должна иметь граф G _t. При t=0 G _t = G ₀, а при t = t_max  G _t = G.

Под развитием сети (графа G _t) будем понимать определение очередности реализации ее ребер в соответствии с максимальным показателем эффективности. Для оценки эффективности процесса развития сети на каждом этапе используется отношение нагрузки, передаваемой в реализованной части сети (текущей нагрузки), к обшей нагрузке, которая передавалась бы по сети при условии се полной реализации:

η = A_t /A.       Исходная матрица нагрузок A используется для определения суммарной нагрузки между узлами сети. Суммарная нагрузка узла i на этапе t реализации сети равна сумме его исходящей нагрузки, т. е. нагрузки от узла i ко всем прочим узлам, и входящей нагрузки от всех" прочих узлов к рассматриваемому узлу i. Максимальное значение эффективности процесса развития (максимум η) на каждом этапе t определяется максимальным значением нагрузки, которую можно обслужить при реализации соответствующего ребра графа. Поэтому па каждом из этапов необходимо реализовать такое ребро графа, которое позволит передавать максимальную суммарную нагрузку. Выбор ребра, удовлетворяющего указанному условию, можно производить двумя способами:  1. Сначала определяются ребра графа, которые являются смежными (имеют хотя бы одну общую вершину) с реализованными на предыдущих этапах. Из полученного набора смежных ребер выбирается и реализуется ребро, имеющее наибольший вес (наибольшую суммарную нагрузку). Процедура повторяется до тех пор, пока не будет реализован весь граф. 2. Из набора еще нереализованных ребер графа выбирается ребро с максимальным весом и проверяется на смежность с уже реализованными ребрами. Если условие смежности выполнено, то ребро реализуется, если нет, то выбирается следующее по весу ребро. Процесс продолжается до полной реализации всех ребер.

Сравнение указанных способов выбора очередного ребра графа указывает на преимущества второго способа.