12.1 Сеть без обходных направлений и параметры потока стохастической сети

Пусть соединительный тракт между входом 1–ым и j - ым выходом содержит n последовательно связанных коммутационных узлов. Поступающий на i-ый узел поток вызовов делится на r_i потоков в соответствии с числом направлений, организуемых на узле коммутации. Пусть на каждом направлении i-ого узла число соединительных линий рассчитывается при величине потерь p_i (i=1, 2, … ,n). Определим результирующую величину потерь P между 1-ым входом и j-ым выходом через n узлов сети. Исследование сложных коммутационных систем показали, что величина потерь P зависит от величины потерь на отдельных ступенях искания p_i (i=1, 2, …,n), числа ступеней искания n, числа направлений r, включаемых в каждую ступень искания, т.е. P = f (p₁, p₂, … ,p_n, n, r₁, r₂, … ,r_n). При этом величина потерь P находится в пределах

P_max ≤ P ≤ 1 – , (12.3.1)

где P_max = max{p_i, i = 1, 2, … , n} – максимальное из значений потерь на коммута-ционном участке сети. Если на входы и выходы любого числа узлов включено одно направление, то имеет место равенство

P = P_max (12.3.2)

В другом предельном случае при r → ∞ процессы обслуживания потоков, поступающих на направления разных узлов, независимы и математическое ожидание величины потерь P при установлении соединения между входом и выходом сети через n узлов определяется из выражения:

P= (12.3.3)

Значение величины pi зависит от многих факторов и может быть рассчитано с использованием инженерных методов. Например, по первой формуле Эрланга. В реальных узлах величина r конечна. Так как каждый вызов занимает соединительные устройства нескольких узлов, то состояние этих ступеней не являются независимыми. Кроме того, из-за потерь на ступенях искания меняется характер потока вызовов, поэтому выше приведенная формула является приближенной. Однако формула 12.3.3 нашла широкое применение для решения задач анализа и синтеза автоматически коммутируемых телефонных сетей без обходных направлений как без учета надежности элементов сети, так и учетом их надежности.

• Анализ и синтез сети с коммутацией каналов и обходными направлениями.

Принципы построения телефонной сети с обходными направлениями

Идею построения сети с обходными направлениями рассмотрим на следующем примере. Пусть требуется соединить между собой три телефонные стан­ции i, j и к (рис.12.3.2). При отсутствии обходных направлений это можно осуществить двумя известными способами: либо соединить станции по принципу "каждая с каждой" (рис. 12.3.2(а)), либо по радиально-узловому принципу (рис. 12.3.2(б)). Выбор того или иного спо­соба соединения в основном определяется величинами потоков сооб­щений между станциями и стоимостью соединительных пиний в каж­дом направлении. Если между станциями имеет место значительное тяготение или же при малом тяготении расстояние между ними небольшое, то в этих случаях целесообразно связать эти станции по принципу "каждая с каждой". Если же между рассматриваемыми станциями существует незначительное тяготение, а расстояние меж­ду ними значительное, то желательно применить радиально-узловой принцип построения телефонной сети, используя, например, станцию "к" в качестве транзитной станции. При этом каждое радиальное направление должно быть рассчитано на обслуживание, как оконеч­ной нагрузки, так и транзитной. Естественно предположить, что при определенных условиях (величинах нагрузки между станциями и стоимостью соединительных линий) целесообразным с экономи­ческой точки зрения будет такое решение, когда между станциями, например, i и j, будет проложено некоторое число соединитель­ных линий. Этих линий недостаточно для обслуживания нагрузки между станциями i и j при заданной величине потерь, а избыток сообщений, не пропущенный этими линиями, будет направляться в обход через транзитную станцию"к" (рис.12.3.2в). Таким образом, вызов между станцией i и j будет потерян, если будут заня­ты все соединительные линии на участках ik или kj. В данной схеме направление ij будет называться прямым, а направление ikj , состоящее из двух участков соединительных линий i k и kj - обходным.

Рис. 12.2 Способы связи телефонных станций между собой.

Использование обходных направлений на телефонной сети поз­воляет:

а) достигнуть повышения пропускной способности линий при минимальных затратах на линейные сооружения;

б) значительную часть сообщений пропустить сравнительно коротким путём, что обуславливается большим количеством прямых направлений;

в) обеспечить высокую надежность связи, т.к. в случае повреж­дения какой-либо линии передачи или коммутационного оборудования на одной из станций соединения будут устанавливаться через линии обходных направлений;

г) в некоторых случаях осуществить расширение ёмкости сети, не осуществляя при этом реорганизацию линейных сооружений. При этом среднее качество обслуживания абонентов на всей сети в целом ухудшится незначительно.

Наряду с указанными достоинствами сети с обходными направле­ниями имеют недостатки, а именно:

а) планирование таких сетей и нахождение оптимального ва­рианта является трудоёмкой задачей;

б) затрудняется контроль работы отдельных направлений и нахождение мест повреждений, а также определение момента времени, когда необходимо произвести расширение того или иного направ­ления для улучшения качественных показателей работы сети;

в) выход из строя кабеля или резкое повышение нагрузки в одном из направлений влияет на качество обслуживания вызовов во всех остальных направлениях.

При рассмотрении сети с обходными направлениями будем использовать следующие понятия:

1.Прямое направление - совокупность каналов непосредствен­но связывающих две какие-либо станции или узла автоматической коммутации. Остальные пути будем называть обходными.

2.Избыточная нагрузка - часть предложенной какому-либо направлению нагрузки, не пропущенная линиями этого направления и поступающая затем на обходное направление.

3. Направление высокого использования - направление, количество линий в котором рассчитывается при высоких значениях потерь. Направление с высоким использованием линий может быть либо прямым направлением, либо промежуточным обходным. Послед­нее имеет место в том случае, когда избыточная нагрузка последо­вательно предлагается нескольким обходным направлениям.

4. Направление последнего выбора - направление, на которое в самую последнюю очередь поступают все избыточные потоки вызовов от других направлений (прямых и обходных).

Направление последнего выбора может использоваться не только для обслуживания избыточных потоков вызовов, но и обслуживать потоки вызовов между станциями, для которых направления послед­него выбора являются прямыми направлениями. Направление послед­него выбора рассчитывается на высокое качество обслуживания вызовов, поступающих на это направление.

Параметры избыточной нагрузки, не пропущенной линиями прямого направления.

Исследования, про­веденные американским ученым Р.И. Вилкинсоном, показали, что для практических целей избыточную нагрузку достаточно характеризовать двумя параметра­ми: математическим ожиданием m(v) и d(v) дисперсией , которое можно рассчитывать по формулам:

m(V) = A*Ev (A) (12.3.4)

d(V) = m(V)*[1- m(V) + A/(V+1+ m(V)- A)], (12.3 5)

где A - математическое ожидание интенсивности нагрузки, поступающей на пучок емкостью V линий прямого направления;

V- число линий в полнодоступном пучке прямого направления; E_V (A) – функция Эрланга (первая формула Эрланга).

В общем случае на обходное направление могут поступать избыточные потоки от нескольких направлений с высоким использо­ванием линий. Если на один и тот же пучок поступает несколько статистически независимых друг от друга потоков со средними значениями избыточной нагрузки m(V1), m(V2),…, m(Vk) и дисперсиями избыточной нагрузки d(V1), d(V2), … , d(Vk), то среднее значение интенсивности нагрузки и дисперсия объединен­ного потока равны сумме соответствующих параме-тров этих потоков:

Mобх = , (12.3.6)

Dобх = . (12.3.7)

Метод эквивалентной замены

Рассмотрим фрагмент сети с обходными направлениями (рис.12.3.3).

Рисунок 12.3 Фрагмент сети с обходными направлениями

На обходное направление (1-ый участок) поступают избыточные потоки с напра-влений высокого использования, связывающих узел i c узлами 1, 2, …, j. Нагрузка, не обслуженная линиями обходного направления, теряется. Для оценки качества обслуживания в сети с обходными направлениями необходи­мо уметь определять параметры потерянной на обходном направле­нии нагрузки.

Представим фрагмент сети (рис.12. 3. 3) в виде схемы ступенча­того включения (рис.12.3.4(а)). Параметры нагрузки, поступающей на 1 участок (iK) обходного направления, равны:

Mобх = m(i1) + m(i2) + … + m(ij),

Dобх = d(i1) + d(i2) + … + d(ij).

Рисунок 12.4 Ступенчатая схема сети с обходами(а) и эквивалентная схема(б)

Для определения параметров m_пот и d_пот нагрузки, потерянной на обходном

направлении (участок iK), воспользуемся методом "эквивалентной замены"

Вилкинсона.

Сущность метода заключается в замене схемы ступенчатого вклю­чения

( рис. 12.3.4(а)) эквивалентной полнодоступной схемой (рис.12.3.5 (б)), состоящей из S+ V_обх линий, на которые предлагается наг­рузка A_э, создаваемая простейшим потоком вызовов. При этом величина простейшего потока должна быть такой, что-бы избыточная нагрузка от S линий полнодоступного пучка имела бы параметры M(S) и D(S) те же, что и суммарная избыточная нагрузка, поступающая на линии обходного направления в реальной схеме т.е.

M(S) = Mобх; D(S) = Dобх.

Применяя к эквивалентной полнодоступной схеме формулы (12.3.4) и (12.3.5), получим

M(S) = Aэ*Es (Aэ) (12.3.8)

D(S) = M(S)*[1- M(S) + Aэ/(S+1+ M(S)- Aэ)], (12.3, 9)

Зная параметры M_обх и D_обх и, следовательно M(S) и D(S), путём подбора определяются У_э и S. Тогда среднее значение потерянной на обходном направлении нагрузки будет равно:

mпот = Aэ*Es(Aэ)+ Vобх (Aэ) (12.3.10)

Дисперсия потерянной на обходном направлении нагрузки определя­ется из выражения:

mпот = mпот *[1- mпот + Aэ/(S + Vобх + mпот – Aэ)] (12.3.11)

Для практических расчётов A_э и S при известных M(S) и D(S) можно использовать приближенные формулы, предложен­ные шведским учёным Раппом.

Aэ = D(S) + 3*(D(S)/M(S))*(D(S)/M(S) –1) (12.3.13)

S=Aэ*( +D(S))/( +D(S)-M(S))-M(S)-1 (12.3.14)

Метод эквивалентной замены может быть использован для оценки качества обслуживания вызовов в сети с обходными направ­лениями. При этом необходимо учитывать, что потери возникают только на направлении последнего выбора, т.е. на обходном нап­равлении, на которое избыточная нагрузка поступает в последнюю очередь. При этом принципиальное различие в оценке потерь имеют следующие две схемы организации связи:

а) направлению последнего выбора предлагаются только избыточные потоки нагрузки;

б) направлению последнего выбора кроме избыточных потоков предлагается нагрузка, создаваемая простейшим потоком вызовов.

Метод эквивалентной замены используется как для решения задач анализа, так

и решения задач синтеза сетей с обходными нправлениями.

• Итерационные методы расчета параметров качества обслуживания на сетях с коммутацией каналов.

При проектировании сетей с обходными направлениями и при управлении такими сетями часто появляет­ся необходимость в определении величин и ха­рактера суммарной нагрузки на каждый участок сети, вероятностей потерь на различных участках, вероятностей потерь между каждой парой узлов, а также распределения этих потерь по путям и транзитным уз­лам сети и т. д.

При расчете делается ряд допущений, определяющих характер потоков нагрузки и их распределение в рассматриваемой модели сети. Эти допущения определяют степень приближения рассматриваемой модели к ре­альной сети и точность расчета.

При определении параметров качества обслуживания на сети делаются следующие допущения:

1) исходные потоки вызовов являются пуассоновскими;

2) пуассоновский характер потоков сохраняется как для избыточной, так и для пропущенной нагрузок;

3) система находится в состоянии статистического равнове­сия;

4) система с явными потерями;

5) не учитываются потери в коммутационных и управляю­щих устройствах;

6) время установления соединения равно 0.

Исходными данными при определении параметров качества об­служивания являются:

1) структура сети (расположение узлов и емкость ветвей);

2) нагрузка для обслуживания в ЧНН между узлами каж­дой пары узлов;

3) план распределения потоков на сети.

В процессе расчетов сети определяются следующие параметры качества обслуживания:

1) величины суммарной нагрузки на каждую ветвь;

2) вероятности потерь на ветвях;

3) вероятности потерь между узлами каждой пары узлов;

4) вероятность потерь в среднем на сети;

5) величины нагрузок, обслуженных и потерянных в каждом транзитном узле и на всей сети в целом.

Из перечисленных параметров наиболее важными являются ве­роятности потерь на ветвях, так как остальные параметры мо­гут быть легко вычислены через эти величины.

Расчет вероятностей потерь на ветвях в сетях с обходными направлениями осложняется тем, что вероятность потерь на каж­дой ветви в общем случае зависит от вероятностей потерь на всех остальных ветвях. Эту зависимость для вероятностей потерь на ветвях сети с учетом заданного плана распределения потоков ин­формации можно представить в виде системы алгебраических уравнений вида

г де N — число узлов в сети;

М — число ветвей в сети;

Р_i — ве­роятность потерь на i-й ветви;

a(k, n) — нагрузка, исходящая из узла k и предназначенная для узла n;

0≤ f ⁱ _k,n (Р_1,Р₂,….. Рм) ≤ 1—доля нагрузки, исходящей из узла k и предназначен­ной для узла и, поступающая на i-ю ветвь в соответствии с планом распределения. Эта функция равна 0, если i-я ветвь не использу­ется ни в одном из путей, соединяющих узлы k, n, т. е. не входит в дерево путей для данной пары узлов, и равна 1, если i-я ветвь является ветвью первого выбора.

Можно указать три метода решения задачи определения потерь на ветвях. Первый метод состоит в составле­нии системы (4.21) и ее решении. Однако составление этой си­стемы уравнений является довольно трудоемким процессом уже для небольших сетей. Число элементов в системе растет очень быстро с ростом числа узлов и ветвей (примерно как N²M), по­этому составление такой системы уравнений для сети, содержа­щей несколько десятков узлов, практически невозможно даже с использованием ЭВМ.

Это привело к разработке итерационных методов расчета, не связанных

составлением полной системы уравнений. В этих работах определение

вероятностей потерь на ветвях осуществля­ется в два этапа. На первом этапе

последовательно для каждой пары узлов определяются и суммируются все доли

нагрузки на каждую ветвь в соответствии с заданным планом распределении

п отоков:

На втором этапе по полученным величинам нагрузок определя­ются вероятности потерь на ветвях.

При расчете итерационным методом можно основываться на распределении нагрузки между каждой парой узлов, как по де­реву путей, так и по матрице маршрутов

• Анализ сетей связи с пакетной коммутацией

При анализе сетей связи ЭВМ, в которых используется пакетная коммутация, в первую очередь не­обходимо оценить пропускную способность сети, т. е. такую ско­рость передачи сообщений, которая может быть получена при связи между двумя ЭВМ или абонентским пунктом и ЭВМ. Так как ЭВМ и абонентский пункт связаны с опорным узлом (ОУ) сети связи абонентской линией, ско­рость обмена определяется в первую очередь ее пропускной спо­собностью. Однако скорость обмена зависит также от пропускной способности сети связи. Эта сеть обеспечивает передачу сообщений от ОУ, в который включен абонент, передающий это сообщение к ОУ, в который включена линия его потребителя.

Кроме пропускной способности, при анализе такой сети связи ЭВМ необходимо оценить также задержки (максимальные и иног­да минимальные) передачи сообщений в сети. Эти задержки могут воз­никнуть из-за конечного времени распространения сигналов по линиям связи, очереди на передачу сообщений на оконечных и всех транзитных узлах и затрат времени на обработку сообщений или пакетов в ОУ сети.

Зная максимальную пропускную способность сети B_ij между исходящим и входящим ОУ и объем сообщения φ_ij можно оце­нить минимальное время Т'_ij передачи сообщения с ОУ_i- на ОУ_j без учета его задержки в сети: T^/_ij = φ_ij /B_ij. Вычислив затем ми­нимальную задержку T "_ij в сети при передаче этого сообщения, можно оценить общее минимальное время передачи сообщения с ОУ_i, на ОУ_j: Ti = T '_ij + T "_ij. Зная время передачи сообщения по АЛ от А6а на ОУг (Tа.исх) и с ОУ_;- к Аб_в(Tа.вх), получим оценку общего времени передачи сообщения от Аб_A к Аб_В :

Т_АВ= Та.исх +Т _ij,+Tа,вх.

Рассмотрим решение этой основной задачи анализа сети связи ЭВМ методами теории потоков, некоторые элементы которой были рассмотрены в предыдущем параграфе. Вначале рассмотрим реше­ние задачи по определению пропускной способности сети. При этом вычислим максимальную пропускную способность сети между ОУ_i и ОУ_j , для чего предположим, что по сети передается только один поток φ_ij, т. е. рассмотрим двухполюсную сеть связи.

Пусть, например, задана сеть связи ЭВМ, изображенная на рис., где зачерненные ОУ являются исходящим узлом(узел А) и входящим узлом(узел D). Для примера примем φ_AD =9,6 кбит.

Рис. 12.5 Схема анализируемой сети. Веса элементов сети представляют время задержки.

Для данной сети матрица емкостей ветвей D, задающая пропускные способности ветвей вей в виде допустимой скорости передачи по ним в кбит/с, имеет вид

В связи с тем, что сеть неориентированная, всего можно обра­зовать 31 сечение. Из них наименьшими являются сечения S₁=S₂=3,2. Поэтому емкость минимального сечения S_mиh= 3,2 кбит/с. Следовательно, минимальное время передачи сообще­ния (потока) φ_AD между ОУ_Аи ОУ_В без учета его задержки в сети составит

Для вычисления величины задержки сообщения (или пакета) в сети будем считать, что в матрице длин ветвей, задающей в данном случае время передачи по ветвям сети, учтены время рас­пространения сигналов по линии, задержка сообщения (пакета) на ОУ из-за очереди на передачу, а также время его обработки на ОУ.

В связи с тем, что задержка сообщения (пакета) на ОУ отнесена к исходящим из ОУ ветвям, в матрице длин ветвей эле­мент 1 _ij = 0. Для вычисления минимальной задержки в сети при передаче сообщения с ОУ_Аи ОУ_В определим длину кратчайших путей между различными узлами в виде минимальной задержки в секундах с учетом матрицы . Полученные данные представим в матрице D.

Как видно из матрицы D, минимальная задержка в сети при передаче сообщения с ОУ_А и ОУ_D составит T"_Ad=6 с. Общее минимальное время передачи сообщения от абонента Аб₁ к Аб₂ , без учета времени передачи по абонент­ским линиям, составит T₁₂=T^/_AD+T"_AD=3 + 6=9 с.

Полученное минимальное время передачи является лишь ниж­ней оценкой, вообще говоря, достижимой, так как при ее вычисле­нии не учитываются истинные маршруты передачи сообщения (пакетов). Вычисление реального значения времени передачи сооб­щения в сложной многополюсной сети, когда по сети передается одновременно множество сообщений и для их передачи исполь­зуются различные маршруты, связано со значительными труднос­тями. В связи с этим при анализе сложных сетей связи ЭВМ ис­пользуются методы статистического моделирования на ЭВМ.