29. Метод анализа иерархий: весовые коэффициенты

1 вычислим сумму по столбцам

2 поделить элементы матрицы А на сумму

3 по каждой строке вычислить весовые коэффициенты – ср. значения по строкам

Если полученная матрица из одинаковых столбцов, то исходная матрица является согласованной.

30. Получение весовых коэффициентов. Методы парных сравнений

31. Оценка согласованности матицы парного сравнения

Согласованность означает, что решение будет согласовано с определениями парных сравнений критериев или альтернатив. С математической точки зрения согласованность матрицы А означает, что а_ij а_jk = a_ik для всех i, j и k. Например, в матрице A_R из примера 3.2-2 а₁₃ = 3 и а₁₂ а₂₃ = 2 х 3/2 = 3. Свойство согласованности требует линейной зависимости столбцов (и строк) матрицы А. В частности, столбцы любой матрицы сравнений размерностью 2x2 являются зависимыми, и, следовательно, такая матрица всегда является согласованной. Не все матрицы сравнений являются согласованными. Действительно, принимая во внимание, что такие матрицы строятся на основе человеческих суждений, можно ожидать некоторую степень несогласованности, и к ней следует относиться терпимо при условии, что она не выходит за определенные "допустимые" рамки.

Чтобы выяснить, является ли уровень согласованности "допустимым", необходимо определить соответствующую количественную меру для матрицы сравнений А. Идеально согласованная матрица А порождает нормализованную матрицу N, в которой все столбцы одинаковы.

Отсюда следует, что матрица сравнений А может быть получена из матрицы N путем де­ления элементов i-го столбца на w_i - (это процесс, обратный к нахождению матрицы N из А). Итак, получаем следующее.

Используя приведенное определение матрицы А, имеем

В компактной форме условие согласованности матрицы А формулируется следующим образом. Матрица А будет согласованной тогда и только тогда, когда Aw = nw,

где w – вектор-столбец относительных весов w_i , i= 1, 2,..., n.

Когда матрица А не является согласованной, относительный вес w_i аппроксимируется средним значением n элементов i-й строки нормализованной матрицы N. Обозначив через w вычисленную оценку (среднее значение), можно показать, что

где n_mах ³ n. В этом случае, чем ближе n_mах к n, тем более согласованной является матрица сравнения А. В результате в соответствии с методом анализа иерархий вычисляется коэффициент согласованности в виде

, где

, коэффициент согласованности матрицы А,

, стохастический коэффициент согласованности матрицы А.

Стохастический коэффициент согласованности RI определяется эмпирическим путем как среднее значение коэффициента CI для большой выборки генерированных случайным образом матриц сравнения А.

Коэффициент согласованности CR используется для проверки согласованности матрицы сравнения А следующим образом. Если CR < 0.1, уровень несогласованности является приемлемым. В противном случае уровень несогласованности матрицы сравнения А является высоким и лицу, принимающему решение, рекомендуется проверить элементы парного сравнения a_ij матрицы А в целях получения более согласованной матрицы.

Значение n_mах вычисляется на основе матричного уравнения при этом нетрудно заметить, что i'-е уравнение этой системы имеет вид:

Поскольку , легко проверить, что

.

Это значит, что величину n_mах можно определить путем вычисления вектор - столбца с последующим суммированием его элементов.