1)Производная в точке, свойства производной
Производной
функции 
в точке 
называется
предел отношения приращения функции
в этой точке к приращению аргумента 
,
при 
(если
этот предел существует и конечен), т.е.
Теорема 1: Функция y=f(x) имеет производную в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем
.
ТЕОРЕМА (необходимое условие существования производной функции в точке). Если функция y = f(x) имеет производную в точке , то функция f(x) в этой точке непрерывна.
Но это означает, что функция f(x) непрерывна в точке (по геометрическому определению непрерывности).
1) Производная
константы равна нулю, т.е 
,
где C – константа.
2) Производная
суммы (разности) равна сумме (разности)
производных, т.е 
3) Производная
произведения находится по правилу: 
.
4) 
,
где 
-
константа.
5) Производная
дроби находится по правилу:
.
2) Логарифмическая производная
При
дифференцировании показательно
степенной функции 
или
громоздких дробных выражений удобно
пользоваться логарифмической производной.
Вывод формулы логарифмической
производной.
Сначала производим
логарифмирование по основанию e,
упрощаем вид функции, используя свойства
логарифма, и далее находим производную
неявно заданной функции:
Пусть функция y=f(x) задана неявно в виде уравнения F(x;y)=0
Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у, Найдем производную первого порядка, продифференцировав по х первую производную, получим вторую производную от неявной функии. В неё войдут х, у, у, подставляя уже найденное значение у, в выражение второй производной, выразим у,, через х и у.
Аналогично
поступаем для нахождения производной
третьего порядка.па
раметрической форме в
виде двух уравнений
где t - вспомогательная переменная, называемая параметром. Заметим, что функция может быть представлена в параметрической форме различными способами.
3)Производная функций заданных параметрически и не явно
Например,
функция, записанная в неявном виде x2 +
y2 =
1 может
быть представлена в явном виде: 
и
в параметрической форм е:
Заметим, что x2 + y2 = 1 есть уравнение окружности единичного радиуса с центром в начале координат. В первом параметрическом представлении уравнения x2 + y2 = 1 параметр t изменяется от -1 до +1 и равен абциссе подвижной точки окружности, во втором случае параметр t изменяется от 0 до 2p и равен углу, образованному радиусом подвижной точки и осью Ox. Если функция задана в явном виде y=f(x), то всегда можно записать её в неявном виде y-f(x)=0, а также в параметрической форме
От
вида F(x,y)=0 не
всегда возможно перейти к
виду y=f(x) или x=(y),
так как уравнение F(x,y)=0 может
оказаться неразреш имым
относительно y или x .
Лего
перейти от параметрического представления
функции к уравнению вида y=f(x).
Для этого из первого уравнения x=x(t) нужно
найтиt=t(x),
если конечно это возможно
, и подставить его во второе уравнение y=y(t)
y=y[t(x)]=f(x)
От параметрического представления функции к уравнению вида F(x,y)=0 можно прийти путем исключения параметра t, если это возможно. Уравнения y=f(x) и F(x, y)=0 служат различными аналитическими представлениями одной и той же функции F[x, f(x)]=0. Параметрические уравнения
и уравнение F(x, y)=0 представляют одну и ту же функцию, если F(x(t), y(t))=0. Наконец, параметрические уравнения определяют ту же функцию, что и уравнение y=f(x), если
y(t)=f [ x(t) ].
Найдем производную функции y по x в случае, когда она задана в параметрическом виде. Для этого будем рассматривать t как функцию от x. То есть t=t(x). Тогда y=y[t(x)]. Продифференцируем y как сложную функцию от x, т.е. по формуле
и применим формулу, связывающую производные обратных функций:
Введя обозначения
,
получим
Пример.
Теперь найдем вторую производную от функции, заданной в параметрической форме. Из предидущего уравнения и определения второй производной следует, что
но
Следовательно
где
