9. Теорема о ранге матрицы

Теорема 9.1(теорема о ранге матрицы)

Ранг матрицы равен наивысшую порядку среди отличных от нуля ее миноров. Каждый столбец матрицы линейно выражается через ее столбцы, проходящие через какой-либо из таких миноров.

Д-во:

Пусть дана матрица А = ( ) и пусть наивысший порядок среди ее ненулевых миноров равен r.

A =

Докажем. что столбцы, входящие в минор D, образуют линейно независимую подсистему в системе столбцов матрицы А. Для этого надо показать, что любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы а₁, а₂, … ,а _r , входящие в минор D.

Выберем произвольный l-ый столбец.

При l  r:

Пусть l > r. Выбираем произвольную i-ю строку, 1  i  m, и ставим определитель

Если i  r, то в определителье две одинаковые строки и он равен нулю. Если же i > r, то этот определитель есть минор (r+1)-го порядка матрицы А и поэтому равен нулю.

Таким обрзом, определитель нулевой при любом i.

Получим: (1)

где , … , – алгебраические дополнения элементов последней строки определителя , причем = D 0

Из равенства (1) находим:

, i = 1,2,…,m

Данное равенство означает, что l-ый столбец матрицы А линейно выражается через столбцы, входящие в минор D. Таким образом, теорема доказана.

Теорема 9.2 Ранг произведения нескольких матриц не превышает рангов матриц каждого из сомножителей.

Теорема 9.3 Если А – если матрица размера mn, Q₁ и Q₂ – квадратные невырожденные матрицы порядков m и n, то

rang(Q₁A) = rang(АQ₂) = rang(A).

Д-во:

Согласно теореме 9.3 для произведения C = C имеем:

rang(C)  rang(A) и в то же время, по скольку А = C, заключаем, что

rang(А)  rang(С). Из полученных неравенств вытекает равенство rang(C) = rang(A). Теорема доказана.

10. Связь между базисами пространства

Пусть в линейном пространстве X_n заданы базисы

и

Разложим векторы бизиса по базису :

матрицу

Т=

называют матрицей перехода от базиса к базису

Теорема 10.1 Любая невыражденная квадратная матрица n-го порядка с элементами из поля Р служит матрицей перехода от данного базиса n-мерного векторного пространства X над полем Р к некоторому другому базису в Х.

Пример. Найти матрицу перехода от базиса к базису , где [ , [

Решение. Т=

11. Подпространство. Сумма и пересечение подпространств

Подмножество L векторного пространства Х над полем Р называют векторным подпространством этого пространства, если оно является линейным пространством относительно введеных, если оно само является линейным пространством относительно введенных в X операции сложения векторов и умножения векторов на числа из поля Р.

Для того чтобы подмножестао L линейного пространства X было его линейным подпространством, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) для любых векторов a и b из L их сумма a+b также принадлежит L;

2) для любого вектора а из L и любого числа αР вектор αа принадлежит L.

Теорема 11.1 Векторное подпростанство конечномерного векторного пространства является конечномерным, и размерность подпространства не перевышает размерности всего векторного пространство.

Теорема 11.2 Пусть L – подпространство n-мерного векторного пространства Х. Любой базис а₁, а₂, … ,а _k в L можно дополнить до базиса а₁, а₂, … ,а _k, а _k+1, … ,а _n всего векторного пространства X, причем векторному пространству L принадлежат те и только те векторы, которые в указанном бызисе имеет столбцы координат вида

Д-во:

Действительно любой базис в L, как и вообще любую линейно независимую систему векторов в X.

Если вектор x имеет столбец координат, то

и принадлежит L линейная комбинация векторов из L.

Если вектор x принадлежит L, то он может быть разложен по базису а₁, а₂, … ,а _k :

Это разложение в то же время является разложением вектора х в базисе а₁, а₂, … ,а _k векторного пространства X, дающим столбец координат вида Теорема доказана.

Теорема 11.3 Пусть Х – конечно мерное линейное пространство и в нем задан базис e. Тогда для любого линейного подпространства L в Х можно указать такую однородную систему линейных уравнений

Ax = 0, что множество координатных столбцов всех векторов из L в базисе e будет совподать с множеством всех решений системы

Ax = 0.

Пусть в векторном пространстве Х даны подпространства L₁и L₂. Множество L₁L₂ векторов, принадлежащих как L₁, так и L₂, является подпространством Х. Его называют пересечением подпространством L₁и L₂.

Множество всех векторов х вида х = a+b, где a L₁, b L₂ называют суммой подпространств L₁и L₂ и обозначают L₁+L₂.