- •1. Определение и простейшие свойства векторных пространств
- •2. Лиинейная зависимость векторов
- •3. Линейная выражаемость системы векторов
- •4. Базис векторного пространства
- •5. Размерность и свойства векторного пространства
- •8)Для любого вектора х и любых чисел α,β выполняется равенство
- •6. Координаты вектора
- •7. Ранг системы векторов
- •8. Ранг матрицы
- •9. Теорема о ранге матрицы
- •10. Связь между базисами пространства
- •11. Подпространство. Сумма и пересечение подпространств
- •12. Теорема о размерности суммы и пересечения подпространств
- •13. Прямая сумма подпространств
- •14. Прямое дополнение подпространств
- •15. Критерий совместимости системы линейных уравнений
- •16. Системы линейных однородных уравнений
- •17. Построение системы линейных однородных уравнений по подпространству
- •18. Связь между решениями однородной и неоднородной системы линейных уравнений
- •19. Определение и простейшие св-ва линейных операторов
- •20. Действие с линейными операторами
- •21. Матрица линейного оператора
- •22. Соответствующие действия над операторами и матрицами
- •23. Изоморфизм линейного пространства
- •24. Ранг и диффект линейного оператора
- •25. Изменение матрицы линейного оператора при замене матрицы
- •26. Инвариантное подпространство
- •27. Линейный оператор с клеточно-диагональной матрицей
- •28. Характеристический многочлен
- •29. Собственные вектора линейного оператора
- •30. Жорданова нормальная форма
- •31. .Построение Жордановой нормальной формы с единственным собственным значением
- •32. Алгоритм нахождения нормальной жордановой формы
- •33. Минимальный многочлен
- •34.Теорема Гамильтона-Келли
- •35. Линейная форма
- •36. Билинейный формы
- •37. Квадратичные формы
- •38. Ограничение билинейных и квадратичных форм
- •39. Ортагональные вектора
- •40. Приведение к кононическому виду
- •41. Алгоритм Логранжа
- •42. Нормальный вид квадратичной формы над c и r
- •43. Закон инерции вещественных квадратичных форм
- •44. Знакоопределенная форма
- •45. Критерий Сильвестра
- •46. Эквивалентность квадратичных форм
- •47. Элементарные делители матрицы
- •48. Матрица Фробениуса сопровождающая систему
- •49. Нормальная форма Фробениуса
1. Определение и простейшие свойства векторных пространств
Непустое множество V называется векторным
(линейным) пространством над полем P, если:
1) на V задана бинарная алгебраическая операция "+";
2) определено умножение элементов из V на элементы из P, т.е.
задано отображение P×V →V: (α,v) α⋅v.
Эти операции должны удовлетворять следующим требованиям (аксиомам), выполняющимся для любых элементов x,y,z∈V и α,β∈P :
1. x+y=y+x (коммутативность).
2. (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность).
3. Существует элемент 0∈V такой, что 0+x=x+0 для любого x∈V.
Элемент 0 называется нулевым элементом (вектором).
4. Для каждого x∈V существует противоположный элемент −x , такой, что x+(−x)=0.
5. 1x=x.
6. (αβ)x=α(βx).
7. (α +β)x=αx+βx.
8. α(x+y)=αx+αy.
Элементы из V называют векторами, а элементы поля P – скалярами (числами). Совокупность аксиом 1–4 означает,
что множество V с операцией сложения "+" является абелевой группой.
Если даны два вектора x,y∈V , то под разностью
x−y будем понимать x−y=x+(−y).
Некоторые свойства векторных пространств:
1)Значение суммы комплексного числа векторов не зависит от порядка суммирования (например, по аксиоме 2).Поэтому операцию сложения векторов можно распростронить на любое конечное число векторов.
2)Произведение нулевого вектора на любое число из основного поля равно нулевому вектору, т.е. 0=0. Действительно,
0=(0+0)=0+0.Следовательно,0=0-0=0.
3)Произведение любого вектора x на число 0 рано нулевому вектору,т.е. x0. Действительно,x0=x(0+0)=x0+x0,откуда:
x0=x0-x0=0.
4)Если αx=0,то либо α=0,либо х=0.В самом деле,если α 0, то
х =1х=[(1/α)α]х=(1/α)(αх)=(1/α)0=0.
5)Для каждого вектора х противоположный вектор равен произведению х на число -1, т.е. –х= -1х. В самом деле,
х+(-1)х=1х+(-1)х=(1-1)х=0х=0. Означает, что вектор (-х) является противоположным к вектору х.
6)Для любого вектора х и любого числа α выполняется равенство α(-х)=(-αх).Действительно,
α(-х)= α[(-1)х]= [α(-1)]х= (-1)(αх) =(-αх).
7)Для любых векторов х и у и любого числа α выполняется равенство α(х-у)= αх- αу.В самом деле,
α(х-у)= α[х+(-у)]= αх+ α(-у)= αх- αу.
8)Для любого вектора х и любых чисел α,β выполняется равенство
(α- β)х= αх- βх, так как
(α −β)x=[α +(−β)]x=αx+(−β)x=αx−βx.
2. Лиинейная зависимость векторов
Конечная система векторов х1, … ,хs называется линейно зависимой, если существуют, такие числа α 1, … , α s, не все равную нулю, что
у= α1х1 + … + αsхs.
В противном случае система векторов х1 , …, хs линейно независима.
Теорема 2.1 Если некоторая подсистема заданной системы векторов линейно зависима, то и вся система векторов линейно зависима.
Теорема 2.2 каждый вектор заданной системы векторов S линейно выражается через векторы любой ее максимальной линейно независимой подсистемы.
Д-во.
Пусть х1, … ,хn – максимально линейно независимая под система в системе векторов S и b – произвольный вектор в S.
Тогда α1х1 + … + αnхn + αb = 0 , α 0.
Так как α 0, то неравенство α1х1 + … + αnхn + αb = 0 можно преобразовать к виду
b = -( α1/ α) х1 - … - ( αn / α) хn , т.е. получить линейное выражение вектора b через вектор х1, … ,хn Теорема доказана.
Теорема 2.3(Основная теорема о линейной зависимости векторов)
Пусть даны системы векторов х1, … ,хr и y1, … ,ys, причем первая линейная зависимость выражается через вторую . Тогда число векторов в первой системе превышает числа векторов во второй, т.е. rs.
Теорема 2.3(теорема о рангах двух систем векторов)
Пусть даны две системы, причем ранг первой равен k, а ранг второй – r. Если первая система линейно выражается через вторую, то k r. Если две системы эквивалентны, то k =r.