5. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
Число J называется определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a; b], если для любого ε > 0 существует такое что для разбиения отрезка [a; b] на равные части n точками и для любого выбора точек выполняется неравенство
Числа а и в называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) - подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, отрезок [a; b] – областью (отрезком) интегрирования.
Свойства определенного интеграла:
1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования.
Формула со стр. 260
2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю
Формула стр 260
3. Для любого действительного числа с: (формула стр. 260)
Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.
-
Если функция у=f(x)непрерывна на отрезке
и
F(x)
какая-либо ее первообразная на
этом отрезке, то имеет место равенство
Читают так: определенный интеграл равен приращению первообразной от
подынтегральной функции на отрезке [a, b].
6. Производная от интеграла с переменной границей.
Теорема. Производная интеграла по переменной верхней границе равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхней границей.
7. Несобственный интеграл 1 и 2 типов. Признаки сходимости.
1. Интеграл бесконечной границей
Если предел существует, то несобственный интеграл с бесконечной границей сходится. Если предел не существует, расходится.
Интеграл с двумя бесконечными границами сходиться только тогда, когда сходятся оба интеграла с 1й боковой границей.
2.
Если данный предел существует, то несобственный интеграл сходится.
Несобственный интеграл от функции с разрывом второго рода в некоторой промежуточной точке интервала интегрирования, сходиться тогда, когда сходится каждый несобственный интеграл с разрывом в граничной точке.
Т1. Если сходится несобственный интеграл от модуля функции, то несобственный интеграл от функции тоже сходится.
Т2. Если несобственный интеграл от большей функции сходится, то сходится и интеграл от меньшей.
Если интеграл от меньшей функции расходится, то расходится и интеграл от большей функции.
8. Вычисление объемов, площадей, длин дуг и поверхностей вращения.
Формулы нахождения площади:
Формулы нахождения объемов:
Формулы нахождения длин дуг:
9. Функции нескольких переменных.
Область определения функции — множество, на котором задаётся функция
Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней.
Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от не более чем на , то есть .