- •35.Признак сравнения для рядов (в двух формах)
- •36.Признак Даламбера.
- •37. Признак Коши (радикальный). Интегральный признак Маклорена – Коши.
- •38. Сходимость знакопеременных рядов. Абсолютная и неабсолютная (условная) сходимость знакопеременного ряда.
- •39.Два свойства неабсолютно сходящихся рядов
- •40. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Нахождение суммы ряда Лейбница с заранее заданной точностью.
- •Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.
- •Почленное интегрирование ряда .
- •Теорема о дифференцировании ряда.
- •44. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда.
- •45. Аналитические свойства суммы степенных рядов:
- •46.Выражение коэффициентов сходящегося степенного ряда через сумму ряда. Ряд Маклорена и ряд Тейлора.
- •47.Разложение произвольной функции в ряд Маклорена и в ряд Тейлора. Формулировка достаточных условий сходимости этих рядов к порождающей функции.
- •48.Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена (с указанием области сходимости).
- •49.Простейшие приложения рядов: приближенное нахождение определенных интегралов.
35.Признак сравнения для рядов (в двух формах)
Пусть имеем ряд A : , в котором все члены положительные: (члены, равные нулю, можно выбросить из ряда без ущерба для сходимости-расходимости ряда).
Лемма. Если частичные суммы ряда Sn= a1 + a2+ … + an с положительными членами ограничены сверху ( ), то ряд А сходится. Это связано с тем, что последовательность частичных сумм строго монотонна и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел.
Признак сравнения. Пусть даны два ряда:
Пусть Тогда из сходимости ряда А следует сходимость ряда В , из расходимости ряда В следует расходимость ряда А.
Действительно, если сходится ряд А, то есть если он имеет сумму, то частичные суммы ряда В будут ограничены сверху и будут строго монотонно возрастающими. По уже упоминавшемуся свойству монотонных ограниченных сверху последовательностей, частичные суммы ряда В будут иметь предел, ряд В также сходится.
Аналогично, если ряд В расходится, то это означает, что его частичные суммы неограниченны сверху. Но тогда и последовательность частичных сумм ряда А будет неограниченной сверху и предела иметь не будет, ряд А также расходится.
Если существует предел , то ряды А и В сходятся одновременно (или расходятся одновременно).
Если же k=0, то из сходимости ряда В следует сходимость ряда А . При k= , из расходимости ряда В следует расходимость ряда А.
Аналогично, если ряд В расходится, то это означает, что его частичные суммы неограниченны сверху. Но тогда и последовательность частичных сумм ряда А будет неограниченной сверху и предела иметь не будет, ряд А также расходится.
36.Признак Даламбера.
Рассмотрим знакоположительный ряд . Допустим, что имеется предел: Тогда при q<1 ряд А сходится, а при q>1 ряд А расходится. Случай q=1 будет критическим, признак Даламбера не дает ответа. Докажем сходимость ряда А при q<1. Поскольку q<1, то существует q0, удовлетворяющее неравенству q<q0<1. Далее, так как то существует N, такое что для всех n >N имеет место неравенство:
, откуда . Распишем эти неравенства подробнее:
Остаток ряда А сравниваем с остатком геометрической прогрессии: , который сходится, ибо знаменатель q0 этой прогрессии меньше единицы. Следовательно, остаток RN тоже сходится, ибо его члены меньше членов сходящейся геометрической прогрессии. А если остаток RN сходится, то сходится и сам ряд А.
Расходимость ряда А при q> 1 также следует из признака сравнения: что (n>N) т.е. члены остатка и так далее – члены нашего ряда превосходят члены расходящейся геометрической прогрессии, ряд А также расходится.
37. Признак Коши (радикальный). Интегральный признак Маклорена – Коши.
Признак Коши. Рассмотрим ряд A : с положительными членами. Пусть существует Тогда если q <1, то ряд сходится, если q>1 то ряд расходится. При q=1 признак Коши ответа не дает.
Для доказательства рассмотрим прогрессию , где . Тогда ясно, что эта прогрессия сходится, ибо Но: при n>N. Следовательно ; Из сравнения с написанной сходящейся прогрессией следует сходимость нашего ряда.
Расходимость при следует из того, что например не стремится к нулю.
Пример: . Сходится ли этот ряд? Имеем при . Ряд сходится при всех x.
Интегральный признак сходимости. (Маклорена – Коши).
Пусть дан ряд , члены которого являются значениями непрерывной монотонно убывающей функции при целочисленных значениях аргументов, т.е. . Тогда ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом: .
Доказательство. Пусть интеграл сходится и пусть =S0. Но тогда из геометрических соображений видно, что
или: . Перепишем это неравенство: , - последовательность частичных сумм ограничена сверху. Поскольку она монотонно возрастает, то имеет предел – ряд сходится.
Пусть теперь интеграл расходится. Тогда . С возрастанием номера n правая часть этого неравенства неограниченно растет, ряд расходится.
Пример. Рассмотрим достаточно общий ряд , где s - произвольная постоянная величина. При s = 1 ряд превращается в гармонический и расходится. Пусть теперь s>1. Применим интегральный признак. Полагаем , находим : . Интеграл сходится, и ряд также сходится. При s<1 имеем: . Интеграл расходится – ряд также расходится. Итак, ряд сходится при s >1 и расходится при s1.