Анализ качества модели множественной линейной регрессии

Необходимо определить, соответствует ли построенная математическая модель, выражающая зависимость между переменными, эмпирическим данным, достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (предикторов) для описания зависимой (критериальной) переменной.

Проверка значимости уравнения регрессии

Основная гипотеза:

H₀: β₁=β₂=…=β_k=0.

Статистика применяемого критерия Фишера:

где , .

Статистика представима также в виде

здесь .

Условие отвержения основной гипотезы: F>F_кр, где F_кр - критическое значение, удовлетворяющее при заданном уровне значимости α применяемого критерия следующему условию:

P{F>F_кр(k+1,n-k-1)}=α.

При отвержении основной гипотезы заключают (с вероятностью ошибки вывода, равной α), что уравнение регрессии значимо (существенно), т.е. хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. В ином случае делают вывод, что имеющиеся статистические данные не подтверждаю его значимость.

Несмещенная точечная оценка остаточной дисперсии

Остаточной дисперсией называется та часть вариации зависимой переменной Y, которую нельзя объяснить воздействием предикторов X₁, X₂,…, X_k.

Расчетное выражение:

Пример. Двумерная аддитивная модель регрессии

Требуется построить линейную модель регрессии некоторой случайной величины Y на определенную случайную переменную X:

Для этого необходимо по выборке с помощью метода наименьших квадратов определить коэффициенты - оценки параметров уравнения регрессии , а также дать оценку остаточной дисперсии .