27. Свойства определенного интеграла

1. 

2. где k - константа;

4. 

5. 

6. Если для всех , то .

7. 

8. 

9. Если в интервале [a, b], то

28. Формула Ньютона- Лейбница.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то

Формула Ньютона - Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a;b] от непрерывной функции f(x) равно разности значений любой ее первообразной , вычисленной при x=b и x=а.

29)Замена переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Замена переменной.

Пусть функция :

1)определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке

2)

3)функция непрерывна на отрезке (а,в)

Тогда : .

Док-во: пусть F(x)-первообразная для функции f(x),т.е. f(x)= F`(x), тогда - первообразная для функции .

,что и требовалось док-ть.

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Если u(x),v(x)-дифференцируемые функции, то .

Док-во: интегрируем равенство ,в пределах от а до в: .

Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство.

Пример:

.

30 Вычисление площадей плоских фигур

Рассмотрим плоскую фигуру, представляющую собой множество точек плоскости лежащих в полосе между прямыми x = a, x = b и ограниченное сверху графиком непрерывной функции y = f(x) и снизу графиком непрерывной функции y = g(x) . Причем f(x) > g(x) на промежутке (a; b) и f(a) = g(a), f(b) = g(b).

Примеры плоских фигур

32.Теория вероятности. Случайные события.

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать результат отличает случайное явление от детерминированного.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S . Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°С, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий ,S . Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера. Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал герб» — случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение герба, есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: силы, с которой брошена монета, формы монеты и многих других).

Два события называются равновероятными (или равновозможными), если нет никаких объективных причин считать, что одно из них может наступить чаще, чем другое. 

Вероятностью P(A) события в данном опыте называется отношение числа M исходов опыта, благоприятствующих событию A, к общему числу N возможных исходов опыта, образующих полную группу равновероятных попарно несовместных событий: