3 Нечіткі множини та принцип узагальнення

В §4 ми побачимо, що нечітка змінна Х відрізняється від змінної в звичайному розумінні (не нечіткої) тим, що їй відповідає деяке обмеження R(X), що представляє собою нечітку підмножину універсальної множини. Тому, перш ніж приступити до обговорення поняття нечіткої змінної, розглянемо деякі характерні властивості нечітких множин та сформулюємо принцип узагальнення, який дозволяє розширити область визначення або відношення в U, включивши поряд із точками з U довільні нечіткі підмножини U.

3.1 Нечіткі множини. Позначення та термінологія

Нечітка підмножина А універсальної множини U характеризується функцією належності , яка ставить у відповідність кожному елементу число з проміжку , яке характеризує ступінь належності елемента и підмножині А ­¹⁾.

Носієм нечіткої множини А називається множина таких точок в U, для яких величина додатна.

Висотою нечіткої множини А називається величина . Точкою переходу нечіткої множини А називається такий елемент множини U, ступінь належності якого множині А дорівнює 0.5.

Приклад 3.1 Нехай універсальна множина U представляє собою проміжок , і змінна и, що приймає значення із цього інтервалу, інтерпретується як “вік”.

¹⁾ В більш загальному випадку значеннями можуть бути елементи частково впорядкованої множини або нечіткі множини. Останній випадок детально розглядається в §6.

Нечітку підмножину універсальної множини U, яка позначається терміном “старий”, можна визначити функцією належності виду

(3.1)

В цьому прикладі носієм нечіткої множини старий є проміжок , висота множини старий близька до 1, а точкою переходу є значення .

Щоб спростити представлення нечітких множин, використовуватимемо наступні позначення.

Звичайну (не нечітку) скінченну множину

(3.2)

записуватимемо у вигляді

, (3.3)

або

, (3.4)

де знак “+” означає об’єднання, а не арифметичне додавання.

Таким чином, запис (3.3) можна розглядати як представлення множини U у вигляді об’єднання його одно точкових множин.

Узагальнюючи (3.3), нечітку підмножину А універсальної множини U записуватимемо наступним чином

, (3.5)

або

, (3.5)

де — ступінь належності елемента и_і нечіткій множині А. У випадках, коли и_і — числа, може виникнути подвійне трактування запису , зв’язане з неможливістю розрізнити компоненти та и_і. Щоб уникнути цього, розділятимемо такі значення та и_і рискою

, (3.7)

або

(3.8)

Приклад 3.2 Нехай або в прийнятих позначеннях

(3.9)

В цьому випадку нечітку підмножину А універсальної множини U можна записати у вигляді

, (3.10)

причому цей запис розуміється цілком однозначно. З іншого боку, якщо

, (3.11)

то, щоб уникнути невизначеностей, А записуємо у вигляді

(3.12)

Приклад 3.3 Якщо універсальна множина складається з чисел від 1 до 10, тобто

(3.13)

то її нечітку підмножину, яка позначається словом декілька, можна визначити наступним чином:

. (3.14)

Приклад 3.4 У випадку зліченої універсальної множини

(3.15)

нечітку множину, яка позначається словом малий, можна записати так

. (3.16)

Аналогічно до запису (3.3), запис (3.5) можна інтерпретувати як представлення нечіткої множини у вигляді об’єднання складових його нечітких одно точкових множин (або ). З означення операції об’єднання нечітких множин (див. (3.34)) випливає, що у випадку, коли , запис нечіткої множини А можна перетворити наступним чином:

. (3.17)

Наприклад, запис

(3.18)

можна перетворити так:

(3.19)

Якщо носій нечіткої множини А має потужність континуума ¹⁾, то використовуватимемо такий запис:

, (3.20)

маючи на увазі, що .

¹⁾ Кажуть, що множина має потужність континуума, якщо можна встановити взаємно однозначну відповідність між нею та множиною дійсних чисел.

Приклад 3.5 Нехай універсальна множина є проміжком , а змінна и, що приймає значення з цього інтервалу, інтерпретується як вік. Тоді нечітка підмножина, що визначається словом старий (її функція належності задається формулою (3.1)) можна записати так

. (3.21)

Відзначимо, що точкою переходу для цієї нечіткої множини, тобто значенням и, для якого

, (3.22)

є и=55.

Будемо казати, що нечітка множина А нормальна, якщо її висота дорівнює одиниці, тобто

. (3.23)

В протилежному випадку нечітка підмножина А субнормальна. Наприклад, нечітка множина старий, яка визначається формулою (3.21), субнормальна, а нечітка множина декілька, яка визначається формулою (3.14), є нормальною. Разом з тим, нечітка підмножина не мале і не велике універсальної множини , яка має вигляд

(3.24)

субнормальна. Відзначимо, що субнормальну нечітку множину можна нормувати, поділивши функцію на величину .

Нечітка підмножина універсальної множини U може

бути підмножиною іншої нечіткої або звичайної підмножини ¹⁾ множини А. Більш того, А є підмножиною В або міститься в В тоді і тільки тоді, коли для будь-якого , тобто

(3.25)

Приклад 3.6 Якщо

,

, (3.26)

,

то .