Содержание:
1.Приближенные числа и действия с ними.
2. Понятие относительной погрешности.
3. Понятие конечных разностей функции.
4. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
5. Численное интегрирование.
6. Численное дифференцирование.
1. Приближенные числа и действия с ними.
Модуль разности между точным числом и его приближенным значением называется абсолютной погрешностью приближенного значения числа.
Абсолютная погрешность суммы и разности приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей.
Пример1 При вычислении выражения данные в условии задачи значения и округлили до целых значений и получили Тогда абсолютная погрешность полученного результата равна … Решение: Значит, абсолютная погрешность числа 20 равна и абсолютная погрешность числа 5 равна . Тогда абсолютная погрешность числа 25 будет равна
При вычислении выражения данные в условии задачи значения и округлили до целых значений и получили Тогда абсолютная погрешность полученного результата равна …1,9
2. Понятие относительной погрешности.
Относительная погрешность приближенного положительного числа равна отношению абсолютной погрешности числа к точному значению этого числа. Так как точное значение числа, как правило, неизвестно, то под относительной погрешностью понимают отношение абсолютной погрешности числа к его приближенному значению.
Относительная погрешность произведения приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей сомножителей.
Пример1 Известно, что стороны прямоугольника равны 122 см и 58 см. Для упрощения вычислений эти числа были округлены до 120 см и 60 см. Была найдена площадь S = 120∙60 = 7200 кв. см. Полученный результат имеет относительную погрешность равную …Решение: Тогда относительные погрешности чисел 120 и 60 равны соответственно
Для вычисления площади стены измерили ее длину и ширину. Получили 603 см и 245 см. Округлив полученные результаты до 600 см и 250 см соответственно, вычислили площадь стены (кв. см.) Тогда относительная погрешность полученного результата равна …0,025
Вычислили значение функции при и получили результат, равный 400. Известны относительные погрешности чисел 4 и 5: Тогда относительная погрешность полученного результата равна …
Известно, что ребра прямоугольного параллелепипеда равны 103 см, 21 см и 98 см. Для упрощения вычислений эти числа округлили до 100 см, 20 см и 100 см соответственно. Нашли объем: (куб. см.) Полученный результат имеет относительную погрешность, равную …0,1
Вычислили значение функции при и получили результат, равный 5. Известны относительные погрешности чисел 10 и 20: Тогда относительная погрешность полученного результата равна …
3. Понятие конечных разностей функции.
Задание функции y = f(x) в виде набора пар чисел (xi, yi) называется табличным заданием функции
xi |
yi |
x0 |
y1 |
x1 |
y2 |
x2 |
y3 |
••• |
••• |
xn |
yn |
Таблицы бывают с постоянным и переменным шагом. Если таблица имеет постоянный шаг, то
x1 – x0 = x2 – x1 = … = xn – xn-1 = h
xi = x0 + ih, i = 0, 1, 2, …, n
Если таблица имеет переменный шаг, то
x1 – x0 ≠ x2 – x1 ≠ … ≠ xn – xn-1
Для таблиц с постоянным шагом вводится понятие конечных разностей. Для нахождения конечных разностей можно воспользоваться следующей схемой: для вычисления значений в i строке следующего столбца таблицы нужно вычесть из числа, стоящего в i+1 строке, число, стоящее в i строке в предыдущем столбце.
Xi |
Yi |
∆Y |
∆2Y |
… |
∆nY |
||||||
X0 |
Y0 |
…
|
|
|
|
||||||
X1 |
Y1 |
|
|||||||||
X2 |
Y2 |
… |
|||||||||
… |
… |
|
|||||||||
Xn-1 |
Yn-1 |
|
|||||||||
Xn |
Yn |
|
Где
∆Yi=Yi+1-Yi конечная разность первого порядка
∆2Yi=∆Yi+1-∆Yi конечная разность второго порядка
∆3Yi=∆2Yi+1-∆2Yi конечная разность третьего порядка и т.д.
Пример1: функция f(x) задана таблично. Составить конечные разности.
Xi |
Yi |
∆Y |
∆2Y |
∆3Y |
|||
5 |
9 |
|
0 |
1 |
|||
7 |
12 |
||||||
9 |
15 |
1 |
|||||
11 |
19 |
Пример2:Для некоторой функции известна таблица ее значений . Тогда конечная разность равна … Решение: Эта схема соответствует формуле. Тогда получим: .
Дана таблица для вычисления конечных разностей некоторой функции: . Конечная разность равна …
Для некоторой функции известна таблица ее значений . Тогда конечная разность равна …0,1
Для некоторой функции известна таблица ее значений . Тогда конечная разность равна …