Матрица — это таблица чисел, упорядоченных по строкам и столбцам. Числа матрицы называются элементами матрицы. Если m=n, то матрица называется квадратной. Если задана квадратная матрица, то элементы с одинаковыми индексами образуют главную диагональ и называются диагональными элементами. A^T или А^* называется транспонированной по отношению к A, если строки матрицы A являются столбцами A^*. Квадратная матрица называется симмитричной относительно главной диагонали, если для ее элементов выполняется условие a_ij = a_ji. Если в квадратной матрице все элементы, кроме диагональных равны 0, то такая матрица называется диагональной. Если все элементы диагональной матрицы равны 1, то такая матрица называется единичной — E.(примеры)

Операции над матрицами.

1. A и В считаются равными, если они имеют одинаковую размерность и соответствующие элементы равны.

2. Для того, чтобы сложить 2 матрицы, достаточно сложить соответствующие элементы.

3. Умножение матрицы на число: В = λA; достаточно умножить на это число все элементы.

4. Умножение матриц: для перемножения А и В надо выполнить следующие условия: длинна а строки матрицы А должна равняться высоте столбца матрицы В; число столбцов А = число строк В; АВ<>ВА; A (m*k)  m/k; B (k*n)  k/n; A*B = mk/kn = m/n; примеры

Определитель матрицы. Вычисляется только для квадратной матрицы. Определитель второго порядка Δ=detA=|a_ij| = a₁₁ a₂₂ — a₁₂ a₂₁; Определитель третьего порядка — число найденной по правилу Саррюса.(Примеры)

Минор и алгебраическое дополнение. Минор — это определитель, полученный вычеркиванием строки или столбца. Базисный минор — любой минор r порядка м-ы А отличный от 0. Минором Мij матрицы A, n*n, называется определитель, полученный вычеркиванием i строки и j столбца из матрицы А. Минор, взятый с определенным знаком называется алгебраическим дополнением элемента. A_ij = (-1) ^(i + j) M_ij

Разложение определителя по элементам строки или столбца.

Рассмотрим i-тую строку: Δ= a_i1 A_i1 + a_i2 A_i2 +…+a_in A_in

Рассмотрим j-тый столбец: Δ = a_1j A_1j + a_2j A_2j+…+a_nj A_nj

Свойства определителя n-го порядка.

1. Если все элементы строки или столбца равны нулю, то и Δ= 0;

2. При перестановке 2 строк (столбцов) знак определителя меняется на противоположный.

3. Определитель не изменится, если транспонировать соответствующую матрицу.

4. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя.

5. Если элементы строки или столбца представляют собой сумму слагаемых, то определитель равен сумме Δей, элементами которых в данной строке или столбце являются эти слагаемые.

6. Если две строки или столбца имеют одинаковые элементы, то такой Δ= 0

7. Определитель не изменяется, если к элементам строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на некоторое число k, где k — любое действительное число.(Примеры)

Обратная матрица. Обратная матрица к исходной матрице А называется матрица А^-1, удовлетворяющая условию A*A^{- 1}=A^{- 1}A=E.

ТЕОРЕМА о существовании обратной матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно (<=>), чтобы матрица А была невыражденной — detA<>0;

1. необходимые условия. Дано: А, А^-1; Док-ть: detA0; Док-во: Предположим detA=0; AA^-1=E; |AA^{- 1}| = |A| |A^-1| = |E| = 1; |AA^{- 1}| =0; Противоречие, значит |A|0;

2. достаточные условия: Дано A, detA0; Док-ть: A^-1-?; Док-во: AA^-1=E -?;

A(a₁₁, a₁₂…a₃₂, A₃₃); Заменим каждый элемент алгебраическим дополнением. В = (A₁₁, A₁₂…A₃₂, A₃₃)*1/|A|; Транспонируем и разделим все элементы на Δ: B^T= (A₁₁/Δ, A₂₁/Δ…A₂₃/Δ, A₃₃/Δ); B^T=A^-1-?; B^TA=E -?

(a₁₁ a₁₂…a₃₂ a₃₃)*(A₁₁A₁₂…A₃₂ A₃₃)=(a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃/Δ)=(1 0..0 1)=E;

a₂₁A₁₁+a₂₂A₁₂+a₂₃A₁₃ = 0; a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃=Δ;

Системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ.

(x₁; x₂; x₃;…x_n) — матрица-столбец. A= (a₁₁ a₁₂… a_nn) * B= (b₁; b₂; … b_n); AX=B; {a₁₁ x₁+a₁₂ x₂+…+a_1n x_n = b₁; a₂₁ x₁+a₂₂ x₂+…+a_2n x_n = b₂; a_n1 x₁+a_n2 x₂+…+a_nn x_n = b_n. — ЭТО СЛАУ; Если СЛАУ имеет решение, то она называется совместной. Если это решение единственное, то СЛАУ называется определенной системой. Если СЛАУ имеет множество решений, то она называется неопределенной. Для установки совместности надо вычислить определитель: {a₁₁ x₁…+a₃₃ x₃ = b₃; Находим определитель матрицы А: Δ=|A| =|a₁₁ a₁₂…a₃₂ a₃₃| <> 0; Для совместности <=>, чтобы главный Δ системы не равнялся нулю. x1-?; Столбец коэффициента x1 занимает столбец (b) (своб. член):

Δx₁= |b₁ a₁₂ a₁₃; b₂ a₂₂…; … b₃ a₂₃ a₃₃|; Δx₂=|a₁₁ b₁ a₁₃; a₂₁ b₂ a₂₃; a₃₁ b₃ a₃₃|; Δx₃=|a₁₁ a₁₂ b₁; a₂₁ a₂₂ b₂; a₃₁ a₃₂ b₃|; x₁=Δx₁/Δ; x₂=Δx₂/Δ; x₃=Δx₃/Δ

1) Δ<>0, Δx_i<>0, тогда имеет единичное решение

2) Δ=0, Δx_i= 0, множество решений.

Метод обратной матрицы или матричный способ решения СЛАУ.

AX=B; |A|<>0  A^{- 1}; A^{- 1}AX=A^{- 1}B; A^{- 1}A=E; EX=X; X=A^{- 1}B; Пример: вычисляем главный Δ, находим алгебраические дополнения, делим на главный определитель, транспонируем и получаем A^{- 1}; X=A^{- 1}; Отсюда находим матрицу-столбец X. Привести примеры.

Метод Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью n*m: A(рисуй матрицу).Выделим k строк и k столбцов из элементов, находящихся на пересечении этих k строк и k столбцов. Строим Δли k-го порядка (эти Δли называются минорами матрицы k-го порядка и обозначаются Mк). M1 — сами элементы матрицы. Минором k-го порядка данной матрицы A называется Δ, составленный из элементов матрицы без перестановок после вычеркивания любых k строк и k столбцов.

Минор второго порядка определяется вычеркиванием двух строк и двух столбцов и т.д. 3-го, четвертого и далее (нарисуй!). Рангом данной матрицы A называется наивысший порядок отличного от нуля минора. Обозначается r (A) = r; Практический способ нахождения ранга матрицы: Практический способ сводится к элементарным преобразованиям матрицы.

1. Перестановка 2х строк. 2. вычеркивание нулевой строки или столбца. 3. прибавление к элементам строки или столбца соответсвующих элементов другой строки или столбца, умножение на число λ.

ТЕОРЕМА:Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразованиях:A(a₁₁…a_mn);

Выполним преобразования и получим что-то типа: B (b11, b12, b13; 0, b22, b23; 0, 0, b33); Вот как надо преобразовывать число строк матрицы. В дает ранг матрицы А: r (A) = r (B) = число строк В.

Привести пример (надеюсь смогешь сам, товарисчь)

Теорема Кронекера-Копелли. Пусть дана СЛАУ размерностью m*n:

{a₁₁ x₁ +…. = b₁; … = b_m; A(a ij) — i=1до m, j=1до n;

B = (a₁₁ a₁₂ … a_1n | b₁; a₂₁ a₂₂… a_2n | b₂; …; a_m1 a_m2 … a_mn | b_m)

Для того, чтобы СЛАУ была совместной необходимо, чтобы ранг матрицы A равнялся расширенному рангу матрицы В <=> r (A) = r (B);

1) r = n (ранг матрицы равен числу неизвестных) — единственное решение.

2) r < n — множество решений.

Примеры обязательно!

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных).

{a₁₁ x₁ +…=b₁; …; =b_n; С помощью линейных преобразований матрицы А мы приводим ее к треугольному виду и получаем СЛАУ равносильную исходной. Две СЛАУ называются равносильными, если решение второй системы является решением первой системы и наоборот.

(обязательно пример, где СЛАУ и вообщем получаешь лесенку с нулями внизу, потом с помощью этого находишь иксы).

Система линейных однородных уравнений. СЛОУ с нулевыми свободными членами. AX= 0;  

Определители

Квадратной матрице A порядка n можно сопоставить число detA, называемое её определителем, следующим образом: Сумма берётся по всем перестановкам  номеров столбцов.

Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n–1)-го порядка, полученный из исходного путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij.

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i+j чётное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечётная. Обозначается Aij. Aij=(-1)^i+jmij.

Св-ва определителей:

1. «Равноправность строк и столбцов». Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6. «Элементарные преобразования определителя». Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

7. «Разложение определителя по элементам некоторого ряда». Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраическое дополнение.

Докажем св-во 7 на примере определителя 3-го порядка.

В самом деле, имеем

8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Правило Саррюса для n=2.

=a11a22-a12a21

Правило Саррюса для n=3.

=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a31-a21a12a33-a32a23a11

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

Треугольным называется определитель, в котором выше или ниже главной диагонали все элементы равны нулю. Треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Определитель Вандермонда.

Для определителя Вандермонда справедлива формула

Определитель Вандермонда равен нулю, тогда и только тогда, когда среди чисел x1,…,xn есть хотя бы два одинаковых.

Комплексные числа.

Комплексным числом z называется выражение вида z=x+iy, где x и y – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица, i²=-1.

Если x=0, то число 0+iy=iy называется чисто мнимым; если y=0, то число x+i0=x отождествляется с действительным числом x, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. RC.

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x=Re z, а y – мнимой частью z, y=Im z.

Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: x1=x2, y1=y2. В частности, комплексное число z=x+iy равно нулю тогда и только тогда, когда x=y=0. Понятие «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводится.

Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.

Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой M(x;y) плоскости Oxy такой, что x=Re z, y=Im z. И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=x+iy.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=x+i0=x. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные чмсла z=0+iy.

Комплексное число z=x+iy можно задавать с помощью радиус-вектора OM=(x;y). Длина вектора OM, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z|. Величина угла между положительным направлением действительной осью и вектором ОМ, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или .

Аргумент комплексного числа z=0 не определён. Аргумент комплексного числа z<>0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2k (k=0,-1,1,-2,2…): Arg z=arg z+2k, где arg z – главное значение аргумента, заключённое в промежутке (-;].

Запись числа z в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа.

Модуль OM и аргумент  комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора OM, изображающего комплексное число z=x+iy. Тогда получаем x=rcos, y=rsin, где r=OM. Следовательно, комплексное число z=x+iy можно записать в виде z=rcos+irsin или z=r(cos+isin). Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой. r=|z|=(x²+y²).

Использую формулу Эйлера e^i= cos+isin, комплексное число z=r(cos+isin) можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме z=re^i, где r=|z| - модуль комплексного числа, а угол  = Arg z=arg z+2k.

Суммой двух комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2=iy2 называется комплексное число, определяемое равенством: z1+z2=(x1+x2)+I(y1+y2).

Сложение двух комплексных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами.

Геометрические комплексные числа складываются как векторы.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, даёт число z1, т.е. z=z1-z2, если z+z2=z1.

Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z: z=z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2).

Геометрические комплексные числа вычитаются как векторы.

Произведением комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством: z=z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+y1x2).

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение i²=-1.

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть n множителей и все они одинаковые, то zⁿ=(r(cos+isin))ⁿ=rⁿ(cosn+isinn). Эта формула называется формулой Муавра.

Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел z1 и z2 <>0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженное на z2, даёт число z1, т.е. z1/z2=z, если z2z=z1.

Для тригонометрической формы комплексного числа формула деления имеет вид:

При делении комплексных чисел их модули, соответственно, делятся, а аргументы, соответственно, вычитаются.

Извлечение корня n-ой степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень.

Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число w, удовлетворяющее равенству wⁿ=z.

Если положить z=r(cos+isin), а w=p(cos+isin), то, по определению корня и формуле Муавра, получаем z=wⁿ=pⁿ(cos(n)+isin(n))=r(cos+isin). Отсюда имеем pⁿ=r, n=+2k,k=0,-1,1,-2,2,… То есть =(+2k)/n и p=r^(1/n) (арифметический корень). Поэтому равенство z^(1/n)=w принимает вид:

k=0,1,…,n-1