1.9. Як випадкова подія виражається через елементарні наслідки випадкового експерименту? Які елементарні наслідки називаються такими, що сприяють появі даної випадкової події? Навести приклади.

Випадкова подія є результат експерименту, поява якого заздалегідь не відома, але належить певній множині елементарних наслідків. Елементарний наслідок, імовірність якого є найбільш наближене до 1 ніж інших елементарних наслідків, сприяє появі даної події.

Приклад: 1. Елементарним наслідком при киданні грального кубика є поява однієї з шести цифр. 2. Поява цифр кратних двом, є більш імовірною, ніж поява цифр кратних трьом. (1/2;1/3 відповідно).

1.10. Сформулювати класичне визначення імовірності випадкової події, записати відповідну формулу і пояснити зміст позначень. Навести приклади.Назвати основні фактори, що обмежують застосування класичного визначення імовірності.

Імовірність появи події А називають співвідношення числа сприятливих наслідків (m) до числа всіх можливих наслідків (n). Р(А)=m/n.

Подія наз. випадковою, якщо в результаті випробування вона може відбутися або не відбутися. Імовірність події є численна міра степеня об’єктивної можливості цієї події. (Класичне) Імовірність події А дорівнює відношенню числа елементарних наслідків, які сприяють появі події А, до загального числа усіх єдиноможливих та рівноможливих елементарних наслідків. де m- число елементарних наслідків, що сприяють події А, n- число усіх єдиноможливих та рівноможливих наслідків. Зауваження: 1.класичне означення імовірності має місце лише тоді, коли m та n скінчені, усі елементарні наслідки рівноможливі. Якщо множина елементарних наслідків нескінчена, то цією формулою користуватися не можна.2. Вимога рівноможливості всіх елементарних наслідків експерименту.

1.11.Сформулювати геометричне визначення імовірночті, записати відповідну формулу і пояснити зміст позначень. Навести приклади. Назвати основні властивості імовірності.

Геометричне визначення ймовірності застосовується у тих випадках, коли множина всіх можливих елементарних наслідків є незліченною множиною. Тобто кількість всіх елементарних наслідків є нескінченною величиною.

Приклад: Скільки існує тризначних парних натуральних чисел?

Імовірність випадкової події А дорівнює відношенню міри g до міри G . Вона використовується у випадках, коли простір елементарних наслідків є незлічена множина : Додатне число, що вказує, скільки раз та чи інша варіанта зустрічається в таблиці даних, наз. частотою. Відношення частоти варіанти до об’єму вибірки n наз. відносною частотою, причому, сума усіх відносних частот .

1.12. Дати означення частоти та відносної частоти випадкової події. Сформулювати статистичне визначення імовірності, записати відповідну формулу і пояснити зміст позначень.Навести приклади.

Додатне число, що вказує, скільки раз та чи інша варіанта зустрічається в таблиці даних, називається частотою. Відношення частоти варіанти до об’єму вибірки називається відносною частотою, причому, сума усіх відносних частот .

Статистичне визначення: Для застосування цього визначення необхідно повести експерименти в кожному з яких може відбутися чи не відбутися певна подія А. Якщо проведено n-випробувані і в m-випробуваннях з’явилася подія А, то відносною частотою настання події А називається величина W.

W(A)=m/n .

1.13. Сформулювати теореми про: а) імовірність суми двох подій; б) імовірність суми двох несумісних подій; в) імовірність добутку двох подій; г) імовірність добутку двох незалежних подій.Сформулювати наслідки з теорем. Навести приклади.

а) Теорема додавання двох подій: якщо дві події А і В є сумісними, то ймовірність настання або події А, або події В, або і А, і В одночасно, то: р(А+В)=р(А)+р(В)-р(АВ).

Наслідок 1: якщо події А і В є несумісними, то ймовірність настання або події А, або події В : р(А+В)=р(А)+р(В).

Н.: якщо із рушниці зроблено два вистріли і А – попадання при першому вистрілі, В – попадання при другому вистрілі, то А+В – попадання при першому вистрілі, або при другому, або під час обох вистрілів.

Наслідок 2: якщо події А і В є несумісними та утворюють повну групу подій, то виконується наступна рівність: р(А+В)=р(А)+р(В)=1.

в) Теорема суми декількох попарно несумісних подій: нехай події А1, А2,…,Аn є попарно несумісними подіями, тоді р(А1+А2+…+Аn)=р(А1)+р(А2)+…+р(An).

а) Теорема добутку для двох подій: нехай є події А і В. ймовірність одночасного настання цих двох подій:

р(АВ)= р(А)*рА(В),

де рА(В) – умовна ймовірність настання події В при умові, що подія А відбулася. рА(В)=р( ).

Приклад: нехай у кімнаті 10 столів і 15 стільців. Спочатку взяли навмання один предмет, а потім ще один. Яка ймовірність того, що другий предмет – стілець?

б) Теорема добутку двох незалежних подій: якщо події А і В є незалежними подіями, то ймовірність настання одночасно і події А, і події В: рА(В)=р(А)*р(В).

Приклад: нехай у кімнаті 10 столів і 15 стільців. По черзі виймають навмання 2 предмета. Яка ймовірність того, що першим буде стілець, а другим – стіл?

А- І - стілець, ІІ- стіл.

А1- І - стілець

А2- ІІ- стіл

А=А1*А2

р(А)=р(А1*А2)= р(А1)*рА1(А2)= .

в)Теорема добутку декількох подій, незалежних у сукупності: нехай є сукупність подій А1, А2….Аn, тоді

р(А1, А2….Аn)=р(А1)* рА1(А2)* рА1А2(А3)*…* рА1А2А3А(n-1)(Аn).

Наслідок: якщо події А1,А2,…,Аn є незалежними у сукупності, то ймовірність добутку всіх цих подій = добутку ймовірностей: р(А1А2…Аn)=р(А1)*р(А2)*р(Аn).