2.22. Вивести рівняння лінійної середньоквадратичної регресії y на х(х на y). Пояснити зміст позначень.Дати означення коефіцієнту регресії , залишкової дисперсії та пояснити, що вони характеризують.

Лінійна середньоквадратична регресія Y на Х має вигляд

g(X)=my+ (X – mx), де mx=М(Х), my=М(Y), σx= , σy= , r=μxy/( σxσy) – коефіцієнт кореляції величин Х та Y.

Виведення:

Введем у розгляд функцію двох незалежних аргументів та :

F( , )=M[Y - - X]2 . (*)

Враховуючи, що М(Х – mx)=M(Y – my)=0,

M[(X - mx)*(Y - my)]= μxy=r σxσy та виконав викладки, отримаємо

F( , )= + - 2r σxσy +( my - - mx)2

Дослідим функцію F( , ) на екстремум, для чого прирівняєм 0 часткові похідні :

, σxσy=0

Звідси , mx

Легко впевнитися , що при цих значеннях та розглянута функція приймає найменше значення. Звідси лінійна середньоквадратична регресія Y та X має вигляд

g (X)= X= - mx+ X, або g(X)=my+ (X – mx),

Коефіцієнт = наз. коефіцієнтом регресії Y на X

Підставимо знайдені значення та у співвідношення (*), отримаємо мінімальне значення значення функції F( , ) , яке дорівнює (1 – r2). Величину (1 – r2) наз. залишковою дисперсією в.в. Y відносно в.в. Х..Вона характеризує величину похибки , яку допускають при заміні Y лінійної функції g(X)= X. При r=+ -1 залишкова дисперсія =0

Аналогічно можно отримати пряму середньоквадратичної регресії Х на Y

X - mx=r (Y- my), де r - коефіцієнт регресії Х на Y.Залишкова дисперсія (1-r2) величини Х відносно Y.

2.23. Сформулювати теорему про корельованість складових нормально розподіленої двовимірної в.В.

а) Мат. сподівання двохвимірної випадкової величини (X, Y) характеризує координати центру розподілу випадкової величини. Ці координати знаходять за формулами:

Дисперсії DX та DY характеризують розсіювання випадкової точки (X, Y) вздовж координатних осей Ox та Oy, відповідно. Їх знаходять за формулами:

б) Условным мат. ожиданием ДСВ Y при X=x (x – определенное возможное значение X) называют произведение возможных значений Y на их условные вероятности:

M(Y|X=x)= Для непрерывных величин , где - условная плотность случайной величины Y при X=x.

в) Для опису двохвимірної випадкової величини використовують також кореляційний момент (або коваріація): KXY=M((X-mX)(Y-mY))= . Корреляционным моментом μxy случайных величин X та Y называют мат. ожидание произведения отклонений этих величин. Для ДСВ: Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y.

г) коефіцієнт кореляції є кількісна характеристика залежності випадкових величин X та Y і часто використовуються в статистиці.

Коэффициенттом корреляции rxy случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

2.24. Дати означення функції випадкової величи. Навести спосіб побудови закону розподілу функції д.в.в. Записати формулу для знаходження щільності розподілу імовірностей функції н.в.в.Навести приклади.пояснити зміст позначень.

Н.В.В. Нехай х-дійсне число. Імовірність події, що Х прийме значення, менше х (Х <х), позначимо F(x)-функцією від х. Функцією розподілу називають функцію F(x), обозначаючу ймовірність того, що випадкова величина Х в результате випробування прийме значення, менше х, т.е. F(x)=P(X<x). Геометричний зміст: F(x)-ймовірність того, що, випадкова величинна прийме значення, котре зображається на числовій прямій точкою, розташованій лівіше точки х.

Законом розподілу дискретної випадкової величини є відношення між можливими значеннями і їх імовірностями. Задаєтся таблично, аналітично, графічно.

Приклад:

В лотереї 100 білетів. Розігрують один виграш в 50 грн. і 10 виграшів по 1 грн.Найти закон розподілу випадкової величини Х-вартість виграшуу для власника одного білета.

Розв’язок:

X: x =50, x =1, x =0. p =0,01 =0,01 =1( =0,89.

Закон розподілу Х(50,10,0), р(0,01;0,1;0,89).

Щільніссть розподілу імовірностей н.в.в. Х називають функцію f(x)-першу похідну від функції розподілу F(x):

f(x)= F’(x) функція розподілу. Для опису рлзподілу д.в.в. неприймається.

Приклад: Дано: F(x)= 0, x<0

x2/81 0<x<=9

1 x>9

f(x)=F’(x)

f(x)= 2x/81 x e (0;9] 0 x не належить (0;9]